Inversion am Kreis

• Definition: Es sei $M_0$ der Mittelpunkt des Kreises $k_0$ (dem Inversionskreis) mit dem Radius r.
  Eine Abbildung $\varphi$ heißt Inversion am Kreis, wenn für alle Punkte $PmitP\ne M_0$ gilt:
  (1) $\varphi \left(P\right)=P\text{'}$ liegt auf dem Strahl $\overline{M_{0}P}$ mit dem Anfangspunkt $M_0.$
  (2) $\overline{M_{0}P}\cdot \overline{M_{0}P\text{'}}=r^2$

Anmerkung: Die Eigenschaft (2) entspricht dem Kathetensatz.

Die Inversion am Kreis hat folgende Eigenschaften:

1. Die Punkte des Inversionskreises $k_0$ werden auf sich selbst abgebildet, d.h. für alle $K\in k_0$ gilt $\varphi \left(K\right)=K.$
2. Der Mittelpunkt des Inversionskreises wird auf den unendlich fernen Punkt abgebildet, d.h. es gilt $\varphi \left(M_0\right)=P_{\infty }.$
3. Die Inversion ist umkehrbar, d.h. es gilt $\varphi \left(P\right)=P\text{'}\iff \varphi \left(P\text{'}\right)=P.$

Es lassen sich die folgenden Aussagen beweisen:

• Satz 1: Jede Gerade, die durch den Mittelpunkt $M_0$ des Inversionskreises $k_0$ verläuft, wird auf sich selbst abgebildet.
• Satz 2: Jede Gerade, die nicht durch den Mittelpunkt $M_0$ des Inversionskreises $k_0$ verläuft, wird auf einen Kreis durch den Mittelpunkt $M_0$ abgebildet.
• Satz 3: Jeder Kreis, der durch den Mittelpunkt $M_0$ des Inversionskreises $k_0$ verläuft, wird auf eine Gerade nicht durch $M_0$ abgebildet.
• Satz 4: Jeder Kreis, der nicht durch den Mittelpunkt $M_0$ des Inversionskreises $k_0$ verläuft, wird auf einen Kreis nicht durch $M_0$ abgebildet.

Wir betrachten die Inversion am Kreis für zwei Spezialfälle genauer.

• Spezialfall 1: Der abzubildende Kreis k verläuft durch den Mittelpunkt $M_0$ des Inversionskreises $k_0$ und schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten $P_{1}und{P}_2.$

Die Abbildung ist nach Satz 3 eine Gerade g, die nicht durch $M_0$ verläuft.
Da eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist und die beiden Schnittpunkte des Kreises k mit dem Inversionskreis $k_0$ auf sich selbst abgebildet werden (siehe obige Eigenschaften), ist das Bild des Kreises k die Gerade g, auf der die Punkte $P_{1}und{P}_2$ liegen.

• Spezialfall 2: Der abzubildende Kreis k verläuft durch den Mittelpunkt $M_0$ des Inversionskreises $k_0$ und sein Radius beträgt (auf den Radius des Inversionskreises bezogen) $\frac{r}{2}.$

Die Abbildung des Kreises k ist die Tangente t an den Inversionskreis $k_0$ im Berührungspunkt von k und $k_0$.

Anwendung findet die Inversion (genauer gesagt der soeben betrachtete Spezialfall 2) beispielsweise bei der Umwandlung einer kreisförmigen Bewegung in eine geradlinige Bewegung (oder umgekehrt).

Als eine mechanische Konstruktion zur Ausführung der Inversion am Kreis sei hier der Inversor des Franzosen CHARLES-NICOLAS PEAUCELLIER (1832 bis 1913) vorgestellt.
Dieses Gerät besteht aus einem in den Eckpunkten beweglichen Rhombus $APBP\text{'}$ und zwei gleichlangen Stäben, die in A und B befestigt sind und in $M_0$ zusammenlaufen (Bedingung: $\overline{M_{0}A}>\overline{AP}$):

Die Punkte $M_0,PundP\text{'}$ liegen auf einer Geraden.
Wird der Punkt P auf einem Kreisbogen, der durch $M_0$ verläuft, geführt, so bewegt sich der Punkt $P\text{'}$ auf einer Geraden. Der Beweis kann mithilfe von obigem Satz 3 und des Satzes von PYTHAGORAS geführt werden.