Pol und Polare am Kreis

Es seien k ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r sowie P ein Punkt dieses Kreises.
Dann ist (mit den entsprechenden Ortsvektoren $\overrightarrow{x{}_M}und\overrightarrow{x_P}$)
$\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_M}\right)\cdot \left(\overrightarrow{x_P}-\overrightarrow{x_M}\right)=r^2\left(1\right)$
eine Gleichung der Tangente an k im Berührungspunkt P.

Wir wollen nun der Frage nachgehen, welche Punktmenge durch die Gleichung (1) beschrieben wird, wenn P ein beliebiger Punkt der Ebene ist.

Für den Fall $P=M$ besitzt (1) offenbar keine Lösung, wir setzen daher für die weiteren Betrachtungen $P\ne M$ voraus.

Nehmen wir an, wir haben zwei Punkte $P_{1}und{P}_2$ gefunden, die (1) für einen beliebigen aber festen Punkt P mit $P\ne M$ erfüllen, für die also gilt:
$\begin{array}{c}{r}^2=\left(\overrightarrow{x_1}-\overrightarrow{x_M}\right)\cdot \left(\overrightarrow{x_P}-\overrightarrow{x_M}\right)\\ =\left(\overrightarrow{x_2}-\overrightarrow{x_M}\right)\cdot \left(\overrightarrow{x_P}-\overrightarrow{x_M}\right)\left(2\right)\end{array}$

Aufgrund der Eigenschaften des Skalarprodukts müssen dafür die senkrechten Projektionen der Vektoren $\overrightarrow{x_1}-\overrightarrow{x_M}und\overrightarrow{x_2}-\overrightarrow{x_M}$ auf den Vektor $\overrightarrow{x_P}-\overrightarrow{x_M}$ (in der folgenden Abbildung rot markiert) übereinstimmen. Die Gerade p durch $P_{1}und{P}_2$ steht also senkrecht auf der Geraden g durch M und P.

Offenbar gilt für jeden Punkt X der Geraden p die Gleichung (2). Deren Abstand vom Mittelpunkt M des Kreises ist gleich dem Betrag der in obiger Abbildung rot markierten Projektionen. Damit erhalten wir ein erstes wichtiges Ergebnis:

• Satz: Für jeden Punkt P mit $P\ne M$ beschreibt die Gleichung
  $\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_M}\right)\cdot \left(\overrightarrow{x_P}-\overrightarrow{x_M}\right)=r^2$ die zu $\overline{MP}$ senkrechte Gerade p, für deren Abstand zum Mittelpunkt M des Kreises Folgendes gilt:
  $d\left(M,p\right)=\frac{r^2}{d\left(M,P\right)}\left(3\right)$

Offenbar ist für jeden Kreis $k\left(M,r\right)$ die Zuordnung $P\to p$ eine eineindeutige Zuordnung der Punkte der Ebene (ausgenommen M) auf die Geraden der Ebene, die nicht durch M verlaufen. Diese Abbildung heißt auch Polarität am Kreis k, der Punkt P und die Gerade p werden Pol bzw. Polare genannt.

Um weitere Eigenschaften von Pol und Polare zu untersuchen, führen wir eine Fallunterscheidung durch:

Fall 1: $d\left(M,P\right)=r$

Dieser Fall beschreibt unsere Ausgangsposition: Der Punkt P liegt auf dem Kreis k.

Die Gerade p ist daher die (zu $\overline{MP}$ senkrechte) Tangente an k im Berührungspunkt P.

Fall 2: $d\left(M,P\right)>r$

Aus Gleichung (3) folgt, dass die Gerade p den Kreis in zwei verschiedenen Punkten $B_{1}und{B}_2$ schneidet.

Schreibt man Gleichung (1) für den Punkt $B_1$ auf, so ergibt sich:
$\left(\overrightarrow{x_{B_1}}-\overrightarrow{x_M}\right)\cdot \left(\overrightarrow{x_P}-\overrightarrow{x_M}\right)=\left(\overrightarrow{x_P}-\overrightarrow{x_M}\right)\cdot \left(\overrightarrow{x_{B_1}}-\overrightarrow{x_M}\right)=r^2\left(4\right)$

Folglich liegt der Punkt P auf der Tangente an den Kreis K im Punkt $B_1.$
Analoges gilt für den Punkt $B_2.$

Die Gerade p ist also Verbindungsgerade der Berührungspunkte der beiden Tangenten durch den Punkt P an den Kreis k.

Fall 3: $0<d\left(M,P\right)<r$

Der Punkt P liegt im Inneren des Kreises k, und nach Gleichung (3) ist die Gerade p eine Passante zu k im Abstand $d\left(M,p\right)=\frac{r^2}{d\left(M,P\right)}.$

Bezeichnet man den Schnittpunkt von $\overline{MP}$ und p mit $P\text{'}$ und die Parallele zu p durch P mit $p\text{'},$ so befinden sich $P\text{'}undp\text{'}$ offenbar in der gleichen Konstellation wie P und p in Fall 2.

Der Pol P liegt also auf der Verbindungsgeraden der Berührungspunkte der Tangenten durch $P\text{'}$ an den Kreis K, und die Polare p verläuft parallel zu dieser Geraden.

Aus der Gleichung (1) ergibt sich leicht eine interessante Eigenschaft der Polarität am Kreis, die an dieser Stelle noch angegeben werden soll:

• Für jede Gerade p, die nicht durch den Mittelpunkt M von k verläuft, schneiden sich die Polaren zu den Punkten von p im zur Geraden p gehörigen Pol P.
  Umgekehrt liegen die Pole aller durch P mit $P\ne M$ verlaufenden Geraden (die M nicht enthalten) auf der zum Punkt P gehörigen Polaren p.

Man sieht dies leicht, denn für einen Punkt A von p gilt $\left(\overrightarrow{x_A}-\overrightarrow{x_M}\right)\cdot \left(\overrightarrow{x_P}-\overrightarrow{x_M}\right)=r^2,$
und die Gleichung der zu A gehörigen Polaren
$\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_M}\right)\cdot \left(\overrightarrow{x_A}-\overrightarrow{x_M}\right)=r^2$
wird daher auch vom Punkt P erfüllt.

Ist umgekehrt a eine Gerade durch den Punkt P mit dem Pol A, so gilt
$\left(\overrightarrow{x_P}-\overrightarrow{x_M}\right)\cdot \left(\overrightarrow{x_A}-\overrightarrow{x_M}\right)=r^2=\left(\overrightarrow{x_A}-\overrightarrow{x_M}\right)\cdot \left(\overrightarrow{x_P}-\overrightarrow{x_M}\right).$
Der Punkt A liegt also auf der Polaren p zum Pol P.