Rechenregeln für Erwartungswerte

  • Satz 1: Ist X eine endliche Zufallsgröße, so gilt für den Erwartungswert der Zufallsgröße a X + b : E ( a X + b ) = a E X + b ( a , b )   

Beweis:
Die Zufallsgröße X nehme die Werte x i mit den Wahrscheinlichkeiten P ( X = x i ) f ü r i = 1, 2, ... , n an. Dann gilt:
E ( a X + b ) = i = 1 n ( a x i + b ) P ( a X + b = a x i + b ) = i = 1 n ( a x i + b ) P ( X = x i ) = a i = 1 n x i P ( X = x i ) + b i = 1 n P ( X = x i ) = a E X + b 1 = a E X + b w . z . b . w .

Beispiel 1: Beim einmaligen Werfen eines fairen Tetraeders werde jeweils das um zwei verkleinerte Dreifache der geworfenen Augenzahl notiert.
Welcher Wert ist dann zu erwarten?

Lösungsvariante 1 (nach Satz 1):
Es ist
X ( 1 2 3 4 1 4 1 4 1 4 1 4 ) E X = 2,5
und Y = 3 X 2 .

Somit gilt nach Satz 1:
E Y = E ( 3 X 2 ) = 3 E X 2 = 3 2,5 2 = 5,5

Lösungsvariante 2 (nach Definition):
Y = 3 X 2 ( 1 4 7 10 1 4 1 4 1 4 1 4 ) E Y = 1 1 4 + 4 1 4 + 7 1 4 + 10 1 4 = 5,5

Lösungsvariante 3 (mittels Simulation):
Mithilfe der Randomfunktion eines Taschencomputers wird die Zufallsgröße Y = a X + b simuliert und n-mal realisiert. Die entsprechenden relativen Häufigkeiten werden als Näherungswerte für die Wahrscheinlichkeiten P ( Y = y i ) verwandt und daraus wird EY berechnet.
Simulation für n = 200 ergibt E Y = 5,55 .

Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Tetraeders (Erwartungswert)

Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Tetraeders (Erwartungswert)

Interaktiv kann die Simulation auch für andere Werte von n durchgeführt werden.

Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Tetraeders (Simulation)

Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Tetraeders (Simulation)

  • Satz 2: Für beliebige endliche Zufallsgrößen X und Y gilt: E ( X + Y ) = E X + E Y

Beweis:
Die Zufallsgröße X nehme die Werte x i mit den Wahrscheinlichkeiten P ( X = x i ) f ü r i = 1, 2, ... , n und die Zufallsgröße Y die Werte y k mit P ( Y = y k ) f ü r k = 1, 2, ..., m an. Dann gilt:
E ( X + Y ) = i = 1 n k = 1 m ( x i + y k ) P ( X = x i u n d Y = y k ) = i = 1 n k = 1 m [ x i P ( X = x i u n d Y = y k ) + y k P ( X = x i u n d Y = y k ) ] = i = 1 n k = 1 m x i P ( X = x i u n d Y = y k ) + i = 1 n k = 1 m y k P ( X = x i u n d Y = y k ) = i = 1 n x i k = 1 m P ( X = x i u n d Y = y k ) + k = 1 m y k i = 1 n P ( X = x i u n d Y = y k ) = i = 1 n x i P ( X = x i ) + k = 1 m y k P ( Y = y k ) = E X + E Y w . z . b . w .

Beispiel 2: Beim zweimaligen Werfen eines idealen Tetraeders werde jeweils die Augensumme, d.h. die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen, notiert.
Welche Augensumme ist dann zu erwarten?

Lösungsvariante 1 (nach Satz 2):
X ( 1 2 3 4 1 4 1 4 1 4 1 4 ) E X = 2,5 Z = X + X E Z = E ( X + X ) = E X + E X = 2,5 + 2,5 = 5

Anmerkung: Für Zufallsgrößen X gilt das aus Zahlenbereichen und Vektorräumen bekannte Gesetz X + X = 2 X nicht.

Lösungsvariante 2 (nach Definition):
Z ( 2 3 4 5 6 7 8 1 16 2 16 3 16 4 16 3 16 2 16 1 16 ) E Z = 2 1 16 + 3 2 16 + 4 3 16 + 5 4 16 + 6 3 16 + 7 2 16 + 8 1 16 = 5

Lösungsvariante 3 (mittels Simulation):
Vorgegangen wird wie in Lösungsvariante 3 des 1. Beispiels.
Die Simulation für n = 200 ergibt E Z = 4,91 .

Augenzahl beim zweimaligen Werfen eines Tetraeders (Erwartungswert)

Augenzahl beim zweimaligen Werfen eines Tetraeders (Erwartungswert)

Interaktiv kann die Simulation auch für andere Werte von n durchgeführt werden.

Augenzahl beim zweimaligen Werfen eines Tetraeders (Simulation)

Augenzahl beim zweimaligen Werfen eines Tetraeders (Simulation)

  • Satz 3: Für voneinander stochastisch unabhängige endliche Zufallsgrößen X und Y gilt: E ( X Y ) = E X E Y

Beweis:
Die Zufallsgröße X nehme die Werte x i mit den Wahrscheinlichkeiten P ( X = x i ) f ü r i = 1, 2, ... , n und die Zufallsgröße Y die Werte y k mit P ( Y = y k ) f ü r k = 1, 2, ..., m an.

Dann gilt (wegen der Unabhängigkeit von X und Y):
E ( X Y ) = i = 1 n k = 1 m x i y k P ( X = x i u n d Y = y k ) = i = 1 n k = 1 m x i y k P ( X = x i ) P ( Y = y k ) = [ i = 1 n x i P ( X = x i ) ] [ k = 1 m y k P ( Y = y k ) ] = E X E Y w . z . b . w .

Beispiel 3: Beim zweimaligen Werfen eines nichtgezinkten Tetraeders werde jeweils das Augenprodukt, d.h. das Produkt der beiden geworfenen Augenzahlen, notiert.
Welches Augenprodukt ist dann zu erwarten?

Lösungsvariante 1 (nach Satz 3):
Es ist
X ( 1 2 3 4 1 4 1 4 1 4 1 4 ) E X = 2,5 u n d Z = X X
(wobei X und X stochastisch unabhängig sind).

Dann gilt:
E Z = E ( X X ) = E X E X = 2,5 2,5 = 6,25

Lösungsvariante 2 (nach Definition):
Z ( 1 2 3 4 6 8 9 12 16 1 16 2 16 2 16 3 16 2 16 2 16 1 16 2 16 1 16 ) E Z = 1 1 16 + 2 2 16 + 3 2 16 + 4 3 16 + 6 1 16 + 8 2 16 + 9 1 16 + 12 2 16 + 16 4 16 = 6,25

Lösungsvariante 3 (mittels Simulation):
Vorgegangen wird wieder wie in Lösungsvariante 3 des 1. Beispiels.
Die Simulation für n = 200 ergibt E Z = 6,18 .

Augenzahlprodukt beim zweimaligen Werfen eines Tetraeders (Erwartungswert)

Augenzahlprodukt beim zweimaligen Werfen eines Tetraeders (Erwartungswert)

Interaktiv kann die Simulation auch für andere Werte von n durchgeführt werden.

Augenzahlprodukt beim zweimaligen Werfen eines Tetraeders (Simulation)

Augenzahlprodukt beim zweimaligen Werfen eines Tetraeders (Simulation)

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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