Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten und ihre Beweise

Es ist leicht, Vorschriften über die Theorie des Beweises aufzustellen, aber der Beweis selbst ist schwer zu führen. (GIORDANO BRUNO)

Wie z.B. für die reellen Zahlen oder für Vektoren, so existieren auch für Wahrscheinlichkeiten grundlegende Rechenregeln.

Diese Rechenregeln müssen aus dem entsprechenden Axiomensystem, d.h. aus dem Axiomensystem von KOLMOGOROW, ableitbar sein, wobei die Kenntnis der zugehörigen Beweise nicht nur mathematische Gewissheit verschafft, sondern auch Einblicke in wichtige stochastische Beweismechanismen gewährt. Eine häufig angewandte Beweisidee besteht z.B. in der Zerlegung eines Ereignisses in zwei geeignete (unvereinbare) Ereignisse.

Regel 1: Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses
Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses $\varnothing$ beträgt 0, d.h., es gilt:
$P(\varnothing )=0$

Beweis:
$\begin{array}{lll}\text{Es gilt}\hfill & P\left(A\right)=P\left(A\cup \varnothing \right)\hfill & mitA\cap \varnothing =\varnothing \hfill \\ \Rightarrow \hfill & P\left(A\right)=P\left(A\right)+P(\varnothing )\hfill & nachAxiom3\hfill \\ \Rightarrow \hfill & 0=P(\varnothing )\hfill & nachSubtraktionvonP\left(A\right)\hfill \\ \hfill & \hfill & \text{w}\text{.z}\text{.b}\text{.w}\text{.}\hfill \end{array}$

Regel 2: Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses
Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses beträgt 1, d.h., es gilt:
$P\left(\Omega \right)=1$

Regel 2 gilt, da sie identisch ist mit der Aussage von Axiom 2.

Regel 3: Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten all seiner atomaren Ereignisse (Elementarereignisse). Das heißt: Umfasst A genau die Ergebnisse $e_{1}bis{e}_m$, so gilt $P\left(A\right)=P\left(\left\{e_1\right\}\right)+P\left(\left\{e_2\right\}\right)+\mathrm{...}+P\left(\left\{e_m\right\}\right)$ und stets $0\le P\left(A\right)\le 1$.

Beweis:
Um $0\le P\left(A\right)\le 1$ zu beweisen, genügt es $P\left(A\right)\le 1$ zu beweisen, da $P\left(A\right)\ge 0$ in Axiom 1 gefordert wird.

$\begin{array}{lll}\text{Es gilt}\hfill & 1=P\left(\Omega \right)\hfill & \text{nach}\text{Axiom}\text{2}\hfill \\ \Rightarrow \hfill & 1=P\left(A\cup \overline{A}\right)\text{mit}A\cap \overline{A}=\varnothing \hfill & nachDefinitionvon\overline{A}\hfill \\ \Rightarrow \hfill & 1=P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)\hfill & \text{nach}\text{Axiom}\text{3}\hfill \\ \Rightarrow \hfill & 1\ge P\left(A\right)\hfill & \begin{array}{l}nacheinseitigerSubtraktion\\ vonP\left(\overline{A}\right),weilP\left(\overline{A}\right)\ge 0\\ \text{nach Axiom 1 gilt}\end{array}\hfill \end{array}$

Den Nachweis, dass die Gleichung $P\left(A\right)=P\left(\left\{e_1\right\}\right)+P\left(\left\{e_2\right\}\right)+\mathrm{...}+P\left(\left\{e_m\right\}\right)$ für $A=\left\{e_1,e_2,\mathrm{...,}{e}_m\right\}$ wahr ist, kann man direkt mittels vollständiger Induktion erbringen oder als Spezialfall des allgemeinen Additionssatzes auffassen.

Regel 4: Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses
Die Summe der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A und der ihres Gegenereignisses $\overline{A}$ beträgt stets 1, d.h., es gilt:
$P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$

Beweis:
$\begin{array}{lll}\text{Es gilt}\hfill & 1=P\left(\Omega \right)\hfill & nachAxiom2\hfill \\ \Rightarrow \hfill & 1=P\left(A\cup \overline{A}\right)\text{mit }A\cap \overline{A}=\varnothing \hfill & nachDefinitionvon\overline{A}\hfill \\ \Rightarrow \hfill & 1=P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)\hfill & nachAxiom3\hfill \\ \Rightarrow \hfill & P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)\hfill & \begin{array}{l}nachäquivalenterUmstellung\\ derGleichungw.z.b.w.\end{array}\hfill \end{array}$

Regel 5: Additionssatz für zwei Ereignisse
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass A oder B eintritt, addiert man die Wahrscheinlichkeit von A und die von B und subtrahiert von dieser Summe die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sowohl A als auch B eintritt.
Es gilt also:
$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

Anmerkung: Einen Beweis dieser Regel findet man unter dem Thema „Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten“.

Regel 6: Wahrscheinlichkeit für implizierte Ereignisse
Zieht das Ereignis A das Ereignis B nach sich (impliziert das Ereignis A das Ereignis B oder tritt auch das Ereignis B immer ein, wenn das Ereignis A eintritt), so ist die Wahrscheinlichkeit von B niemals kleiner als die von A, d.h., es gilt:
$A\subseteq B\Rightarrow P\left(A\right)\le P\left(B\right)$

Beweis:
$\begin{array}{l}A\subseteq B\Rightarrow B=A\cup \left(B\cap \overline{A}\right)mitA\cap \overline{A}=\varnothing \\ \Rightarrow P\left(B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\cap \overline{A}\right)mitP\left(B\cap \overline{A}\right)\ge 0\\ nachAxiomen3und1\\ \Rightarrow P\left(B\right)\ge P\left(A\right)w.z.b.w.\end{array}$

Beispiele für fehlerhafte Angaben

Aus obigen Rechenregeln ergibt sich, dass die folgenden Angaben fehlerhaft sind.

• $\Omega =\left\{a;b;c\right\}$ mit $P\left(\left\{a\right\}\right)=\mathrm{0,8,}P\left(\left\{b\right\}\right)=-\mathrm{0,2}undP\left(\left\{c\right\}\right)=\frac{2}{5}$

Widerspruch zur Regel 3:
Jede Wahrscheinlichkeit muss nichtnegativ sein – die Wahrscheinlichkeit $P\left(\left\{b\right\}\right)$ darf demzufolge nicht $-\mathrm{0,2}$ betragen.

• $\Omega =\left\{a;b;c\right\}$ mit $P\left(\left\{a\right\}\right)=\mathrm{0,3,}P\left(\left\{b\right\}\right)=\mathrm{0,4}undP\left(\left\{c\right\}\right)=\mathrm{0,03}$

Widerspruch zur Regel 2:
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller atomaren Ereignisse muss 1 betragen und darf nicht $\mathrm{0,3}+\mathrm{0,4}+\mathrm{0,03}=\mathrm{0,73}$ sein.

• $\Omega =\left\{a;b;c\right\}$ mit $P\left(\left\{a;b\right\}\right)=\mathrm{1,2}undP\left(\left\{c\right\}\right)=\mathrm{0,8}$

Widerspruch zur Regel 3:
Die Wahrscheinlichkeit von jedem Ereignis muss kleiner oder gleich 1 sein und darf nicht 1,2 betragen.

• $A,B\subseteq \Omega$ mit $P\left(A\right)=\mathrm{0,4,}P\left(B\right)=\mathrm{0,7}undP\left(A\cap B\right)=\mathrm{0,5}$

Widerspruch zur Regel 6:
Die Wahrscheinlichkeit von $A\cap B$ muss stets kleiner oder gleich der Wahrscheinlichkeit von A sein $\left(A\cap B\subseteq A\right)$ und darf hier nicht 0,5 betragen.