Schwerpunkt eines Dreiecks

Zunächst machen wir eine Vorbemerkung zur Teilung einer Strecke P1P2¯ mit T als Teilpunkt. Es sei P1T¯:TP2¯=λ das Verhältnis der Streckenteile.

Bild

Für das Teilverhältnis λ gilt dann:

  1. λ>0:
    T ist innerer Teilungspunkt (T liegt zwischen P1undP2).
  2. λ<0:
    T ist äußerer Teilungspunkt.
  3. λ=1:
    T halbiert die (ist Mittelpunkt der) Strecke P1P2¯.

Allgemein gilt in der xy-Ebene für die Koordinaten eines Teilpunktes T(xT;yT) einer Strecke P1P2¯ mit P1(x1;y1) und P2(x2;y2):
xT=x1+λx21+λ; yT=y1+λy21+λ

Schwerpunkt eines Dreiecks in Koordinatendarstellung

Gegeben sei in der xy-Ebene ein Dreieck durch die Koordinaten seiner Eckpunkte P1,P2undP3.

Schwerpunkt eines Dreiecks (Koordinatendarstellung)

Unter Verwendung von M1 als Mittelpunkt der Strecke P2P3¯ lassen sich die Koordinaten des Schwerpunktes S(xS;yS) folgendermaßen angeben:
xS=x1+2xM13; yS=y1+2xM13

M1 hat die Koordinaten xM1=x2+x32 und yM1=y2+y32.

In die Koordinaten von S eingesetzt liefert das die folgenden Werte für den Schwerpunkt S(xS; yS):
xS=x1+x2+x33;yS=y1+y2+y33

Für den dreidimensionalen Fall lassen sich die Überlegungen analog führen, und für den Schwerpunkt S(xS;yS;zS) gilt:
xS=x1+x2+x33;yS=y1+y2+y33; zS=z1+z2+z33

  • Beipiel 1: Es sind die Koordinaten des Schwerpunktes S des Dreiecks P1P2P3 mit den Punkten P1(2;1;0),P2(1;0;1),P3(0;1;3) zu ermitteln.

Nach oben angegebener Formel ist:
xS=2+1+03=1;yS=1+0+13=23;zS=0+1+33=43S(1;23;43)

Schwerpunkt in Vektordarstellung

Es seien p1,p2undp3 die Ortsvektoren der Eckpunkte des Dreiecks P1P2P3, t3 der Ortsvektor von T3 (Halbierungspunkt von P1P2¯) und s der Ortvektor des Schwerpunktes S.

Bild

Dann gilt Bild, und wegen t3=p1+p22 erhält man:
s=p1+p2+p33

  • Beispiel 2: Man ermittle den Ortsvektor des Schwerpunktes S vom Dreieck P1P2P3 mit den Punkten P1(4;2;5),P2(3;1;2)undP3(2;2;0).

Es ist:
s=13((425)+(312)+(220))=13(933)=(311)

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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