Schwerpunkt eines Dreiecks

Zunächst machen wir eine Vorbemerkung zur Teilung einer Strecke P 1 P 2 ¯ mit T als Teilpunkt. Es sei P 1 T ¯ : T P 2 ¯ = λ das Verhältnis der Streckenteile.

Bild

Für das Teilverhältnis λ gilt dann:

  1. λ > 0 :
    T ist innerer Teilungspunkt (T liegt zwischen P 1 u n d P 2 ).
  2. λ < 0 :
    T ist äußerer Teilungspunkt.
  3. λ = 1 :
    T halbiert die (ist Mittelpunkt der) Strecke P 1 P 2 ¯ .

Allgemein gilt in der xy-Ebene für die Koordinaten eines Teilpunktes T ( x T ; y T ) einer Strecke P 1 P 2 ¯ mit P 1 ( x 1 ; y 1 ) und P 2 ( x 2 ; y 2 ) :
x T = x 1 + λ x 2 1 + λ ;   y T = y 1 + λ y 2 1 + λ

Schwerpunkt eines Dreiecks in Koordinatendarstellung

Gegeben sei in der xy-Ebene ein Dreieck durch die Koordinaten seiner Eckpunkte P 1 , P 2 u n d P 3 .

Schwerpunkt eines Dreiecks (Koordinatendarstellung)

Schwerpunkt eines Dreiecks (Koordinatendarstellung)

Unter Verwendung von M 1 als Mittelpunkt der Strecke P 2 P 3 ¯ lassen sich die Koordinaten des Schwerpunktes S ( x S ; y S ) folgendermaßen angeben:
x S = x 1 + 2 x M 1 3 ;   y S = y 1 + 2 x M 1 3

M 1 hat die Koordinaten x M 1 = x 2 + x 3 2 und y M 1 = y 2 + y 3 2 .

In die Koordinaten von S eingesetzt liefert das die folgenden Werte für den Schwerpunkt S ( x S ;   y S ) :
x S = x 1 + x 2 + x 3 3 ; y S = y 1 + y 2 + y 3 3

Für den dreidimensionalen Fall lassen sich die Überlegungen analog führen, und für den Schwerpunkt S ( x S ; y S ; z S ) gilt:
x S = x 1 + x 2 + x 3 3 ; y S = y 1 + y 2 + y 3 3 ;   z S = z 1 + z 2 + z 3 3

  • Beipiel 1: Es sind die Koordinaten des Schwerpunktes S des Dreiecks P 1 P 2 P 3 mit den Punkten P 1 ( 2 ; 1 ; 0 ) , P 2 ( 1 ; 0 ; 1 ) , P 3 ( 0 ; 1 ; 3 ) zu ermitteln.

Nach oben angegebener Formel ist:
x S = 2 + 1 + 0 3 = 1 ; y S = 1 + 0 + 1 3 = 2 3 ; z S = 0 + 1 + 3 3 = 4 3 S ( 1 ; 2 3 ; 4 3 )

Schwerpunkt in Vektordarstellung

Es seien p 1 , p 2 u n d p 3 die Ortsvektoren der Eckpunkte des Dreiecks P 1 P 2 P 3 , t 3 der Ortsvektor von T 3 (Halbierungspunkt von P 1 P 2 ¯ ) und s der Ortvektor des Schwerpunktes S.

Bild

Dann gilt Bild, und wegen t 3 = p 1 + p 2 2 erhält man:
s = p 1 + p 2 + p 3 3

  • Beispiel 2: Man ermittle den Ortsvektor des Schwerpunktes S vom Dreieck P 1 P 2 P 3 mit den Punkten P 1 ( 4 ; 2 ; 5 ) , P 2 ( 3 ; 1 ; 2 ) u n d P 3 ( 2 ; 2 ; 0 ) .

Es ist:
s = 1 3 ( ( 4 2 5 ) + ( 3 1 2 ) + ( 2 2 0 ) ) = 1 3 ( 9 3 3 ) = ( 3 1 1 )

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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