Schwerpunkt eines Dreiecks

Zunächst machen wir eine Vorbemerkung zur Teilung einer Strecke $\overline{P_1{P}_2}$ mit T als Teilpunkt. Es sei $\overline{P_{1}T}:\overline{T{P}_2}=\lambda$ das Verhältnis der Streckenteile.

Für das Teilverhältnis $\lambda$ gilt dann:

1. $\lambda >0$:
   T ist innerer Teilungspunkt (T liegt zwischen $P_{1}und{P}_2$).
2. $\lambda <0$:
   T ist äußerer Teilungspunkt.
3. $\lambda =1$:
   T halbiert die (ist Mittelpunkt der) Strecke $\overline{P_1{P}_2}$.

Allgemein gilt in der xy-Ebene für die Koordinaten eines Teilpunktes $T\left(x_T;y_T\right)$ einer Strecke $\overline{P_1{P}_2}$ mit $P_1\left(x_1;y_1\right)$ und $P_2\left(x_2;y_2\right)$:
$x_T=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda };y_T=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }$

Schwerpunkt eines Dreiecks in Koordinatendarstellung

Gegeben sei in der xy-Ebene ein Dreieck durch die Koordinaten seiner Eckpunkte $P_1,P_{2}und{P}_3$.

Unter Verwendung von $M_1$ als Mittelpunkt der Strecke $\overline{P_2{P}_3}$ lassen sich die Koordinaten des Schwerpunktes $S\left(x_S;y_S\right)$ folgendermaßen angeben:
$x_S=\frac{x_1+2x_{M_1}}{3};y_S=\frac{y_1+2x_{M{}_1}}{3}$

$M_1$ hat die Koordinaten $x_{M_1}=\frac{x_2+x_3}{2}$ und $y_{M{}_1}=\frac{y_2+y_3}{2}.$

In die Koordinaten von S eingesetzt liefert das die folgenden Werte für den Schwerpunkt $S\left(x_S;y_S\right)$:
$x_S=\frac{x_1+x_2+x_3}{3};y_S=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$

Für den dreidimensionalen Fall lassen sich die Überlegungen analog führen, und für den Schwerpunkt $S\left(x_S;y_S;z_S\right)$ gilt:
$x_S=\frac{x_1+x_2+x_3}{3};y_S=\frac{y_1+y_2+y_3}{3};z_S=\frac{z_1+z_2+z_3}{3}$

• Beipiel 1: Es sind die Koordinaten des Schwerpunktes S des Dreiecks $P_1{P}_2{P}_3$ mit den Punkten $P_1\left(2;1;0\right),P_2\left(1;0;1\right),P_3\left(0;1;3\right)$ zu ermitteln.

Nach oben angegebener Formel ist:
$\begin{array}{l}{x}_S=\frac{2+1+0}{3}=1;y_S=\frac{1+0+1}{3}=\frac{2}{3};z_S=\frac{0+1+3}{3}=\frac{4}{3}\\ \Rightarrow S\left(1;\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)\end{array}$

Schwerpunkt in Vektordarstellung

Es seien $\overrightarrow{p_1},\overrightarrow{p_2}und\overrightarrow{p_3}$ die Ortsvektoren der Eckpunkte des Dreiecks $P_1{P}_2{P}_3$, $\overrightarrow{t_3}$ der Ortsvektor von $T_3$ (Halbierungspunkt von $\overline{P_1{P}_2}$) und $\overrightarrow{s}$ der Ortvektor des Schwerpunktes S.

Dann gilt , und wegen $\overrightarrow{t_3}=\frac{\overrightarrow{p_1}+\overrightarrow{p_2}}{2}$ erhält man:
$\overrightarrow{s}=\frac{\overrightarrow{p_1}+\overrightarrow{p_2}+\overrightarrow{p_3}}{3}$

• Beispiel 2: Man ermittle den Ortsvektor des Schwerpunktes S vom Dreieck $P_1{P}_2{P}_3$ mit den Punkten $P_1\left(4;2;-5\right),P_2\left(3;-1;2\right)und{P}_3\left(2;2;0\right)$.

Es ist:
$\overrightarrow{s}=\frac{1}{3}\left(\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ -5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 0\end{array}\right)\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}9\\ 3\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ -1\end{array}\right)$