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Schwerpunkt eines Dreiecks

Der Schwerpunkt S des Dreiecks P 1   P 2   P 3 ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Er teilt diese (vom jeweiligen Eckpunkt des Dreiecks her gesehen) im Verhältnis 2 : 1.
Im Folgenden sollen die Koordinaten des Schwerpunktes S ( x S ;   y S ;   z S ) eines Dreiecks P 1   P 2   P 3 bestimmt werden.

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Zunächst machen wir eine Vorbemerkung zur Teilung einer Strecke P 1   P 2 ¯ mit T als Teilpunkt. Es sei P 1 T ¯ : T P 2 ¯ = λ das Verhältnis der Streckenteile.

Bild

Für das Teilverhältnis λ gilt dann:

  1. λ > 0 :
    T ist innerer Teilungspunkt (T liegt zwischen P 1       u n d       P 2 ).
  2. λ < 0 :
    T ist äußerer Teilungspunkt.
  3. λ = 1 :
    T halbiert die (ist Mittelpunkt der) Strecke P 1   P 2 ¯ .

Allgemein gilt in der xy-Ebene für die Koordinaten eines Teilpunktes T ( x T ;   y T ) einer Strecke P 1   P 2 ¯ mit P 1 ( x 1 ;   y 1 ) und P 2 ( x 2 ;   y 2 ) :
  x T = x 1 + λ x 2 1 + λ ;     y T = y 1 + λ y 2 1 + λ

Schwerpunkt eines Dreiecks in Koordinatendarstellung

Gegeben sei in der xy-Ebene ein Dreieck durch die Koordinaten seiner Eckpunkte P 1 ,       P 2       u n d       P 3 .

  • Schwerpunkt eines Dreiecks (Koordinatendarstellung)

Unter Verwendung von M 1 als Mittelpunkt der Strecke P 2 P 3 ¯ lassen sich die Koordinaten des Schwerpunktes S ( x S ;   y S ) folgendermaßen angeben:
  x S = x 1 + 2 x M   1 3 ;       y S = y 1 + 2 x M   1 3

M 1 hat die Koordinaten x M   1 = x 2 + x 3 2 und y M   1 = y 2 + y 3 2 .

In die Koordinaten von S eingesetzt liefert das die folgenden Werte für den Schwerpunkt S ( x S ;     y S ) :
  x S = x 1 + x 2 + x 3 3 ;     y S = y 1 + y 2 + y 3 3

Für den dreidimensionalen Fall lassen sich die Überlegungen analog führen, und für den Schwerpunkt S ( x S ;   y S ;   z S ) gilt:
  x S = x 1 + x 2 + x 3 3 ;     y S = y 1 + y 2 + y 3 3 ;     z S = z 1 + z 2 + z 3 3

  • Beipiel 1: Es sind die Koordinaten des Schwerpunktes S des Dreiecks P 1   P 2   P 3 mit den Punkten P 1 ( 2 ;   1   ;   0 ) ,         P 2 ( 1   ;   0 ;   1 ) ,       P 3 ( 0 ;   1   ;   3 ) zu ermitteln.

Nach oben angegebener Formel ist:
  x S = 2 + 1 + 0 3 = 1 ;     y S = 1 + 0 + 1 3 = 2 3 ;     z S = 0 + 1 + 3 3 = 4 3   ⇒ S ( 1   ;   2 3 ;   4 3 )

Schwerpunkt in Vektordarstellung

Es seien p 1 → ,       p 2 →       u n d       p 3 → die Ortsvektoren der Eckpunkte des Dreiecks P 1   P 2   P 3 , t 3 → der Ortsvektor von T 3 (Halbierungspunkt von P 1   P 2 ¯ ) und s → der Ortvektor des Schwerpunktes S.

Bild

Dann gilt Bild, und wegen t 3 → = p 1 → + p 2 → 2 erhält man:
  s → = p 1 → + p 2 → + p 3 → 3

  • Beispiel 2: Man ermittle den Ortsvektor des Schwerpunktes S vom Dreieck P 1   P 2   P 3 mit den Punkten P 1 ( 4 ;   2 ;   − 5 ) ,       P 2 ( 3 ;   − 1 ;   2 )       u n d       P 3 ( 2 ;   2 ;   0 ) .

Es ist:
  s → = 1 3 ( ( 4 2 −   5 ) + ( 3 − 1 2 ) + ( 2 2 0 ) ) = 1 3 ( 9 3 −   3 ) = ( 3 1 −   1 )

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Schwerpunkt eines Dreiecks." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/schwerpunkt-eines-dreiecks (Abgerufen: 20. May 2025, 11:29 UTC)

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