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Das Oktalsystem verwendet als Basis die Zahl 8.
Grundziffern sind die Ziffern 0 bis 7.

Positionssysteme kommen nur in vier Zivilisationen mit geschriebener Sprache vor: in Mesopotamien, in China, in der Mayakultur Zentralamerikas und im alten Indien.
In einem Positionssystem mit der Basiszahl b wird eine Zahl durch eine Folge von Grundziffern $a_i$ dargestellt: Dabei bestimmt die Basiszahl die Anzahl der benötigten Grundziffern. So sind es im Dezimalsystem 10, im Dualsystem 2, im Oktalsystem 8, im Hexadezimalszystem 16 und im Sexagesimalsystem 60 Grundziffern.

Mithilfe der Potenzgesetze kann man sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlich darstellen. Diese Zahlen werden mit abgetrennten Zehnerpotenzen in der Form
$a,bcd\mathrm{...}\cdot {10}^n$
dargestellt, wobei für die Zahl a vor dem Komma gilt:
0 < a < 10
Zur Abkürzung der positiven und negativen Zehnerpotenzen gibt es Vorsilben („Vorsätze“) wie z. B. Kilo, Milli, Mikro, die bei vielen Einheiten benutzt werden.

Eine Zahl p, die außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat, heißt Primzahl .
Die Zahl 1 zählt nicht zu den Primzahlen.
Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Der Beweis dafür ist einfach und wird indirekt geführt:
Man nimmt an, pn  sei die größte Primzahl.
Nun bildet man die Zahl z als Produkt aller bekannten Primzahlen,
z235...pn . Für die Zahl z + 1 gilt nun z + 1  1 mod aller pi , d. h. z + 1 ist durch keine der bekannten Primzahlen teilbar. Damit ist z + 1 entweder eine Primzahl (natürlich größer als pn ) oder sie enthält eine Primzahl als Teiler, die aber auch größer als pn  sein muss, oder wir haben eine neue Primzahl gefunden, die kleiner als pn  ist. Also war die Annahme falsch und es gibt keine größte Primzahl.

In der Folge der nach ihrer Größe geordneten Primzahlen gibt es aber auch Lücken beliebiger Länge.

Auch dies ist einfach zu beweisen:
Man bildet das Produkt p aller Zahlen von 2 bis n: p234...n 
Damit ist p + 2 teilbar durch 2; p + 3 teilbar durch 3, ... , p + n teilbar durch n.
Die aufeinanderfolgenden Zahlen p + 2, p + 3, p + 4 bis p + n sind damit allesamt keine Primzahlen, man hat also eine Lücke von der Länge n – 1.

Eine Zahl p, die außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat, heißt Primzahl.
Die Zahl 1 zählt nicht zu den Primzahlen.
Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Gleichungen, bei denen von der Variablen direkt oder indirekt der absolute Betrag angegeben ist, sind weder der Gruppe der algebraischen Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen.
Beim Lösen von Gleichungen mit Beträgen sind Fallunterscheidungen vornehmen.
Dies wird für lineare und quadratische Gleichungen demonstriert.

Exponentialgleichungen nennt man solche Gleichungen, in denen die Unbekannte im Exponenten auftritt.
Exponentialgleichungen, in der nur Potenzen mit gleicher Basis auftreten oder unterschiedliche Basen auf die gleiche Basis zurückgeführt werden können, sind mithilfe der Anwendung der Potenzgesetze oder durch Logarithmieren lösbar.

In allen Ländern der Europäischen Union (EU) wird auf Waren und Dienstleistungen vom Endverbraucher eine Steuer erhoben, die sogenannte Umsatzsteuer.
Verkauft ein Betrieb in Deutschland eine Ware oder Dienstleistung, ist er verpflichtet, auf den Endpreis diese Umsatzsteuer aufzuschlagen und an das Finanzamt abzuführen. Dabei darf er die von ihm gezahlte Umsatzsteuer auf alle Waren und Dienstleistungen, die er für seine Produktion benötigt, als sogenannte Vorsteuer in Abzug bringen. Somit zahlt er Umsatzsteuer nur auf den Teil des Preises, der aus der Wertschöpfung in seinem Betrieb resultiert. Man spricht daher auch von Mehrwertsteuer.

Die Grundgleichung der Prozentrechnung beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Prozentwert W, dem Prozentsatz p und dem Grundwert G:

$p\%=\frac{W}{G}\text{bzw}\text{. }\frac{p}{100}=\frac{W}{G}$

Prozentsätze können mit der Formel $p\%=\frac{W}{G}bzw.p=\frac{W}{G}\cdot 100$berechnet werden (p%: Prozentsatz; G: Grundwert;
W: Prozentwert).

Ist eine Zahl v sowohl Vielfaches einer Zahl a als auch Vielfaches einer Zahl b, so heißt v gemeinsames Vielfaches von a und b.

Das kleinste gemeinsame Vielfache wird mit kgV bezeichnet.

Der Begriff „kleinstes gemeinsames Vielfaches“ kann auch auf mehr als zwei Zahlen erweitert werden.

Man erhält das kgV aus den Primfaktorzerlegungen der Zahlen, indem man alle vorkommenden Primfaktoren in ihrer höchsten Potenz multipliziert.

Die Basiseinheit für das Volumen (den Rauminhalt) ist der Kubikmeter ($m^3$).
Für größere oder kleinere Volumen (Rauminhalte) verwendet man Einheiten, die durch Vervielfachen mit Potenzen von 1000 = ${10}^3$ aus dem Kubikmeter abgeleitet sind, wie z. B. Kubikdezimeter
($d{m}^3$), Kubikzentimeter ($c{m}^3$) oder Kubikmillimeter ($m{m}^3$) .

$a=\sqrt[n]{c}$ (gesprochen: a ist gleich n-te Wurzel aus c)
Dabei heißen n der Wurzelexponent, c der Radikand und a der Wurzelwert.
Im Bereich der reellen Zahlen existiert die n-te Wurzel aus c stets, wenn c eine nichtnegative reelle Zahl und n eine natürliche Zahl $\left(n>1\right)$ ist.
Wurzeln aus negativen Zahlen existieren im Bereich der reellen Zahlen nicht.

Die Subtraktion ist in der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ nur ausführbar, wenn der Subtrahend nicht größer als der Minuend ist.
Zur schriftlichen Subtraktion schreibt man die Zahlen (analog zur schriftlichen Addition) untereinander. Man subtrahiert (von rechts beginnend) spaltenweise und notiert das Ergebnis. Ist die Subtraktion nicht ausführbar, erhöht man den Minuenden um einen (oder mehrere) Zehner, die man in der nächsten Spalte zusätzlich subtrahiert.

Ist eine Zahl g sowohl Teiler einer Zahl a als auch Teiler einer Zahl b, so heißt g gemeinsamer Teiler von a und b.
Der größte gemeinsame Teiler wird mit ggT bezeichnet.
Der Begriff „größter gemeinsamer Teiler“ kann auch auf mehr als zwei Zahlen erweitert werden.
Man erhält den ggT, indem man die höchsten Potenzen aller Primfaktoren multipliziert, die in allen Zerlegungen gemeinsam vorkommen.

Grundwerte können mit der Formel $G=\frac{W}{p}\cdot 100$ berechnet werden
(p: Prozentzahl; W: Prozentwert).

Wenn man den Zinssatz und die entsprechenden Jahres-, Monats- oder Tageszinsen kennt, kann man das zugehörige Kapital (besser den zugehörigen Kapitalwert) berechnen, indem man die erhaltenen Zinsen durch den Zinssatz dividiert und den so erhaltenen Wert mit 100 multipliziert.

Prozentwerte können mit der Formel $W=\frac{G}{100}\cdot p$ berechnet werden (p: Prozentzahl; G: Grundwert).

Beim Verkauf von Waren und Dienstleistungen gewährt der Verkäufer oftmals einen Preisnachlass. Wenn bestimmte Preisnachlässe grundsätzlich bei Vorliegen gewisser Bedingungen gewährt werden, spricht man vom Rabatt.

Bei Zahlungen gewährt der Rechnungssteller (Zahlungsempfänger) oftmals einen Nachlass, wenn gewisse Fristen eingehalten werden. Dieser Nachlass heißt Skonto (Mehrzahl – Skonti).

Wenn man einen Zinsbetrag und das entsprechende Kapital kennt, kann man den zugehörigen Zinssatz berechnen, indem man die erhaltenen Zinsen durch das Kapital dividiert und dann in Prozent angibt.

Bei der kaufmännischen Zinsrechnung, insbesondere bei Abrechnungen zwischen Banken und Kunden, wird die Kontokorrentrechnung (Rechnung mit Soll und Haben) verwendet. Die Kontenseiten werden dabei aus der Sicht der Bank bezeichnet. Habenposten sind also für den Bankkunden Guthaben, Gutschriften, Einzahlungen, Überweisungseingänge usw. Sollposten sind für den Bankkunden Verbindlichkeiten, Abhebungen, Überweisungsausgänge, Abbuchungen eigener Schecks usw.

Bei der kaufmännischen Zinsrechnung sind vorwiegend Tageszinsen zu berechnen, wobei die Zinssätze im Allgemeinen p. a. (pro Jahr) angegeben werden.
Die Formel zum Berechnen der Tageszinsen wird dabei vereinfacht.

Wenn man das Kapital, den Zinssatz und die entsprechenden Jahres-, oder Tageszinsen kennt, kann man die Zeitspannen (Anzahl der Jahre, Monate bzw. Tage), für die die Zinsen anfallen, berechnen.
Je nachdem, welche Werte bekannt sind, wird dann die Formel für Jahres-, Monats - oder Tageszinsen verwendet.

Eine der wichtigsten Anwendungen der Prozentrechnung ist die Zinsrechnung.
Dabei entsprechen folgende Begriffe einander:
Grundwert G und Kapital K;
Prozentsatz p% und Zinssatz p%;
Prozentwert W und Zinsen Z