Schriftliche Subtraktion

Die Subtraktion ist in der Menge der natürlichen Zahlen $ℕ$ nur ausführbar, wenn der Subtrahend nicht größer als der Minuend ist.
Zur schriftlichen Subtraktion schreibt man die Zahlen (analog zur schriftlichen Addition) untereinander. Man subtrahiert (von rechts beginnend) spaltenweise und notiert das Ergebnis. Ist die Subtraktion nicht ausführbar, erhöht man den Minuenden um einen (oder mehrere) Zehner, die man in der nächsten Spalte zusätzlich subtrahiert.

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Schriftliche Subtraktion

Die Subtraktion ist in der Menge der natürliche Zahlen $ℕ$ nur ausführbar, wenn der Subtrahend nicht größer als der Minuend ist.
Eine Zahl d = m – s existiert nur, wenn $s \leq$ m gilt. Dann ist m = s + d.
Für s = m ist d = 0.

Zur schriftlichen Subtraktion schreibt man die Zahlen (analog zur schriftlichen Addition) untereinander. Man subtrahiert (von rechts beginnend) spaltenweise und notiert das Ergebnis. Ist die Subtraktion nicht ausführbar, erhöht man den Minuenden um einen (oder mehrere) Zehner, die man in der nächsten Spalte zusätzlich subtrahiert.

Es sei von 3486 die Zahl 2192 zu subtrahieren.

Man schreibt:		Man rechnet:
3486	1. Spalte (von rechts)	2	Ergänzung zu 6 ergibt 4
–2192	2. Spalte (von rechts)	9	Ergänzung zu 18 ergibt 9
	3. Spalte (von rechts)	1+1 = 2	Ergänzung zu 4 ergibt 2
	4. Spalte (von rechts)	2	Ergänzung zu 3 ergibt 1

1294	Ergebnis

Sind mehrere Subtrahenden zu subtrahieren, beginnt man zweckmäßigerweise von unten, addiert die Subtrahenden und ergänzt zum Minuenden, wobei man ggf. einen (oder mehrere) Zehner addiert und in der nächsten Spalte zu den Subtrahenden addiert.

Es seien von 5847 die Zahlen 294, 1036 und 441 zu subtrahieren.

Man schreibt:		Man rechnet:
5847	1. Spalte (von rechts)	1 + 6 + 4 = 11	Ergänzung zu 17 ergibt 6
– 294	2. Spalte (von rechts)	1 + 4 + 3 + 9 = 17	Ergänzung zu 24 ergibt 7
–1036	3. Spalte (von rechts)	2 + 4 + 0 + 2 = 8	Ergänzung zu 8 ergibt 0
– 441	4. Spalte (von rechts)	1	Ergänzung zu 5 ergibt 4

4076	Ergebnis

Die Verfahren des schriftlichen Rechnens machen auch vom Distributivgesetz Gebrauch und gelten völlig analog auch in anderen Positionssystemen.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Schriftliche Subtraktion." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/schriftliche-subtraktion (Abgerufen: 18. July 2025, 22:09 UTC)

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Muhammad ibn Musa Al-Chwarizmi

MUHAMMAD IBN MUSA AL-CHWARIZMI, persisch-arabischer Mathematiker
* um 780 Bagdad (heute in Irak)
† um 850

MUHAMMAD IBN MUSA AL-CHWARIZMI (auch AL-KHWARIZMI) war ein persisch-arabischer Mathematiker, der etwa von 780 bis 850 lebte und insbesondere am Hof des Kalifen AL-MANSUR in Bagdad wirkte.
AL-CHWARIZMI führte die indische Ziffernschreibweise und damit das dekadische Positionssystem in den arabischen Kulturkreis ein und beschrieb diese in einem Lehrbuch, das 820 erschien. In diesem Buch findet man vor allem die Gesamtheit der Regeln (Handlungsvorschriften) zum formalen Lösen von Gleichungen – und aus dem Namen des Autors wurde für Handlungsvorschriften der Begriff „Algorithmus“ abgeleitet.

Positionssysteme

Positionssysteme kommen nur in vier Zivilisationen mit geschriebener Sprache vor: in Mesopotamien, in China, in der Mayakultur Zentralamerikas und im alten Indien.
In einem Positionssystem mit der Basiszahl b wird eine Zahl durch eine Folge von Grundziffern $a_{i}$ dargestellt: Dabei bestimmt die Basiszahl die Anzahl der benötigten Grundziffern. So sind es im Dezimalsystem 10, im Dualsystem 2, im Oktalsystem 8, im Hexadezimalszystem 16 und im Sexagesimalsystem 60 Grundziffern.

Primzahlen

Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Der Beweis dafür ist einfach und wird indirekt geführt:
Man nimmt an, pn sei die größte Primzahl.
Nun bildet man die Zahl z als Produkt aller bekannten Primzahlen,
z235...pn . Für die Zahl z + 1 gilt nun z + 1 1 mod aller pi , d. h. z + 1 ist durch keine der bekannten Primzahlen teilbar. Damit ist z + 1 entweder eine Primzahl (natürlich größer als pn ) oder sie enthält eine Primzahl als Teiler, die aber auch größer als pn sein muss, oder wir haben eine neue Primzahl gefunden, die kleiner als pn ist. Also war die Annahme falsch und es gibt keine größte Primzahl.

In der Folge der nach ihrer Größe geordneten Primzahlen gibt es aber auch Lücken beliebiger Länge.

Auch dies ist einfach zu beweisen:
Man bildet das Produkt p aller Zahlen von 2 bis n: p234...n
Damit ist p + 2 teilbar durch 2; p + 3 teilbar durch 3, ... , p + n teilbar durch n.
Die aufeinanderfolgenden Zahlen p + 2, p + 3, p + 4 bis p + n sind damit allesamt keine Primzahlen, man hat also eine Lücke von der Länge n – 1.

Eine Zahl p, die außer den (trivialen) Teilern 1 und p (sich selbst) keine weiteren Teiler hat, heißt Primzahl.
Die Zahl 1 zählt nicht zu den Primzahlen.
Die ersten Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Immer wieder hat man versucht, Prinzipien zu finden, mit deren Hilfe die nächste Primzahl bestimmt werden kann.
Heute weiß man, dass es keinen geschlossenen Ausdruck (keine Formel) gibt, nach der sich die n-te Primzahl berechnen lässt.
Man weiß aber auch, dass es keine größte Primzahl gibt, d. h., die Menge der Primzahlen ist unendlich.

Primzahlen, Historisches

Schon die Mathematiker der Antike suchten nach einem Verfahren zum Finden von Primzahlen. Bekannt ist ERATOSTHENES (um 230 v. Chr.) der mit dem nach ihm benannten Sieb eine Methode angab, die Primzahlen der Reihe nach zu ermitteln.
Auch PIERRE DE FERMAT, LEONHARD EULER und MARIN MERSENNE haben viel zur Erforschung der Primzahlen beigetragen.

Restklassen

Bei vielen zahlentheoretischen Überlegungen spielen Teilbarkeitsbeziehungen eine Rolle.
So kann man z. B. die Reste untersuchen, die natürliche Zahlen bei der Division durch eine Zahl b lassen.
So können bei der Division durch 5 die Reste 0, 1, 2, 3 und 4 auftreten.
Die Teilmengen $K_{0}$ , $K_{1}$ , $K_{2}$ , $K_{3}$ und $K_{4}$ der natürlichen Zahlen, die bei der Division durch 5 entstehen, heißen Restklassen modulo 5.

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