Irrationale Zahlen, Historisches

PYTHAGORAS selbst oder einer seiner Schüler entdeckte, dass bei einem Quadrat das Verhältnis von Seitenlänge und Diagonalenlänge nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden kann. Beide Strecken haben kein gemeinsames Maß, sie sind inkommensurabel.
Diese Entdeckung erschütterte ganz erheblich das Weltbild der Pythagoreer, die angenommen hatten, dass sich jedes Phänomen in der Sprache der natürlichen Zahlen formulieren ließe.

Quadratwurzeln wurden von den Mathematikern der Antike noch beherrscht, weil sie diese konstruieren konnten. An Wurzeln höheren Grades scheiterten sie. So war die Verdopplung des Kubus (das Delische Problem) eines der unlösbaren Probleme. Die Legende berichtet, dass das Orakel von Delphi die Athener beauftragte, den würfelförmigen Altar des Apollon im Heiligtum der Insel Delos zu verdoppeln. Dies erfordert die Berechnung der irrationalen dritten Wurzel von 2.

Die anderen unlösbaren Probleme der antiken Mathematik waren die Trisektion (Dreiteilung) eines beliebigen Winkels und die Quadratur des Kreises. Beide Probleme hängen damit zusammen, dass $\pi$ eine transzendent e Zahl ist. Die Aufgabe, einen Winkel mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile zu teilen oder ein zu einem Kreis inhaltsgleiches Quadrat zu konstruieren, beschäftigte die Mathematiker bis in die Neuzeit hinein.
Der Beweis, dass beides unmöglich ist, resultiert letztlich erst aus den Forschungen des französischen Mathematikers EVARISTE GALOIS (1811 bis 1832).

Das Problem des Irrationalen hat, nicht nur im Zusammenhang mit o.g. klassischen Problemen, die Mathematiker aller Generationen beschäftigt. Einen Abschluss fanden diese Diskussionen letztlich erst Ende des vorigen Jahrhunderts.
Entscheidend für die heutige Theorie der irrationalen Zahlen waren vor allem die grundlegenden Arbeiten von RICHARD DEDEKIND 1831 bis 1916), GEORG CANTOR (1845 bis 1918) und KARL WEIERSTRASS (1815 bis 1897).