Dedekindscher Schnitt

Beim Aufbau des Bereiches der reellen Zahlen kann gezeigt werden, dass es zwischen den überall dicht liegenden rationalen Zahlen noch irrationale Zahlen (wie etwa $\sqrt{2},\pi$ und $e$) gibt. Irrationale Zahlen und rationale Zahlen bilden dann zusammen den Bereich der reellen Zahlen. So kann der Begriff der reellen Zahl naiv, auf der Anschauung beruhend, gefasst werden.
Eine exakte Definition des Begriffs reelle Zahl gab RICHARD DEDEKIND (1831 bis 1916). Sein grundlegender Gedankengang wird im Folgenden skizziert, wobei zunächst der Begriff des dedekindschen Schnittes erklärt werden soll.

Dedekindsche Schnitte in der Menge der rationalen Zahlen

Die Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen werde so in zwei Teilmengen A und B zerlegt, dass für jedes $a\in A$ und jedes $b\in B$ die Beziehung $a\le b$ gilt.
Für jede beliebig kleine positive Zahl $\epsilon$ gibt es dann ein $b_i\in B$ und ein $a_i\in A$, so dass $b_i-a_i<\epsilon$ gilt. Das heißt: Man kann aus den Mengen B und A stets je ein Element so auswählen, dass deren Differenz kleiner als jede vorgegebene positive Zahl wird. Dies ist möglich, weil die rationalen Zahlen überall dicht liegen.
Unter diesen Voraussetzungen gibt es eine und nur eine Zahl t, für die für jedes Element a aus A und jedes Element b aus B gilt:
$a\le t\le b$
Diese Zahl t trennt die Mengen A und B und heißt dedekindscher Schnitt, man schreibt auch $t=\left(A|B\right)$.
Die Zahl t ist eine reelle Zahl.
Anmerkung: Die Zahl t kann einer der Mengen A oder B (oder beiden) angehören, muss dies aber nicht (siehe folgende Beispiele).

• Beispiel 1: Es sei $t=3$.

Die Menge A enthält alle rationalen Zahlen $a_i$, für die $a_i\le 3$ gilt; die Menge B enthält alle reellen Zahlen $b_i$, für die $3\le b_i$ gilt. Damit gehört die Zahl 3 sowohl zur Menge A als auch zur Menge B. Die Bedingung $b_i-a_i<\epsilon$ ist damit erfüllt, da $3-3=0$ ist.

• Beispiel 2: Es sei $t=\sqrt{2}$.

Die Menge A enthält alle rationalen Zahlen $a_i$, für die $a_i<\sqrt{2}$ gilt (die Gleichheit scheidet aus, weil $\sqrt{2}$ keine rationale Zahl ist). Die Menge B enthält dann alle reellen Zahlen $b_i$, für die $\sqrt{2}<b_i$ gilt. Die Zahl $\sqrt{2}$ gehört also weder zur Menge A noch zur Menge B.

Die Bedingung $b_i-a_i<\epsilon$ ist aber dennoch erfüllbar, weil die rationalen Zahlen überall dicht liegen:
Setzt man etwa $\epsilon =\mathrm{0,01}$, so erfüllen $a_1=\mathrm{1,414}$ und $b_1=\mathrm{1,415}$ die Bedingung, denn $\mathrm{1,415}-\mathrm{1,414}=\mathrm{0,001}<\mathrm{0,01}$ und es gilt auch $a_1<\sqrt{2}<b_1$, denn ${\mathrm{1,414}}^2=\mathrm{1,999}396<2$ und ${\mathrm{1,415}}^2=\mathrm{2,002}225>2$.
Setzt man $\epsilon =\mathrm{0,001}$, so erfüllen $a_2=\mathrm{1,4142}$ und $b_2=\mathrm{1,4143}$ die Bedingung, denn $\mathrm{1,4143}-\mathrm{1,4142}=\mathrm{0,0001}<\mathrm{0,001}$ und es gilt auch $a_2\le \sqrt{2}\le b_2$, denn ${\mathrm{1,4142}}^2<2$ und ${\mathrm{1,4143}}^2>2$.

Die oben getroffene Aussage, es gibt eine und nur eine reelle Zahl $t=\left(A|B\right)$, für die unter den getroffenen Voraussetzungen $a\le t\le b$ gilt, beinhaltet die beiden folgenden Aussagen:
(a) es gibt mindestens eine solche Zahl (Existenz)
(b) es gibt höchstens eine solche Zahl (Eindeutigkeit)

Die Aussage (a) beweist man durch Verallgemeinerung der genannten Beispiele.
Die Aussage (b) beweist man indirekt wie folgt: Angenommen, es gäbe zwei verschiedene Zahlen $t_1$ und $t_2$, wobei o.B.d.A $t_2$ die größere Zahl sei.
Dann ist $t_2-t_1=k>0$.
Es müsste dann gelten: $a\le t_1\le b$ und $a\le t_2\le b$
Aus der zweiten Ungleichung folgt dann $a\le t_1+k\le b$ bzw. $b-a>t_1+k$, was im Widerspruch zur Voraussetzung $b-a<\epsilon$ steht.
Die Annahme, es gibt zwei verschiedene Werte für t war also falsch.

Erweiterung für den Bereich der reellen Zahlen

Der dedekindsche Schnitt $t=\left(A|B\right)$ wird nun erweitert, indem man A und B als Teilmengen der reellen Zahlen auffasst. Auch dann ist t eine reelle Zahl. Man sagt, die Menge der reellen Zahlen ist abgeschlossen. Dies ist gleichbedeutend damit, dass zu jeder reellen Zahl umkehrbar eindeutig ein Punkt der Zahlengeraden gehört.

Für die so erfolgte Definition der reellen Zahlen kann nun gezeigt werden, dass die für den Bereich der rationalen Zahlen geltenden Gesetzmäßigkeiten in gleicher Weise gelten, also insbesondere

1. die Trichotomie, d.h., für zwei reelle Zahlen a und b gilt genau eine der drei Beziehungen $a<b,a=b,a>b$;
2. das Kommutativgesetz der Addition und der Multiplikation, d.h.
   $a+b=b+a$ bzw. $a\cdot b=b\cdot a$;
3. das Assoziativgesetz der Addition und der Multiplikation, d.h.
   $a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c$ bzw. $a\cdot \left(b\cdot c\right)=\left(a\cdot b\right)\cdot c$
4. das Distributivgesetz der Addition bezüglich der Multiplikation, d.h.
   $a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c$
5. die Monotonie der Addition bezüglich der Kleiner-Relation; d.h.,
   aus $a<b$ folgt $a+c<b+c$.
   Anmerkung: Die Monotonie der Multiplikation bezüglich der Kleiner-Relation ist eingeschränkt, d.h., aus $a<b$ folgt $a\cdot c<b\cdot c$ nur für $c>0$.