Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 6 Differenzialrechnung
  4. 6.8 Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen
  5. 6.8.2 Bisektionsverfahren
  6. Intervallschachtelungen

Intervallschachtelungen

Der (historisch gesehen) zunächst nur naiv gefasste Begriff der reellen Zahl bedurfte einer exakten Fundierung. Dies gelang RICHARD DEDEKIND (1831 bis 1916), der mithilfe eines Schnittes zwischen zwei rationalen Zahlenmengen zu einer exakten Definition der reellen Zahlen gelangte.

Ein etwas anderes Vorgehen ist die Methode der Intervallschachtelungen, die im Folgenden skizziert wird.

Dabei zeigt sich: Durch eine Intervallschachtelung in der Menge ℚ der rationalen Zahlen wird genau eine reelle Zahl (als Kern) definiert. In der Menge ℝ der reellen Zahlen besitzt jede Intervallschachtelung als Kern eine reelle Zahl, d.h., ℝ ist abgeschlossen.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Unter einem abgeschlossenen Intervall [ a ;   b ] versteht man bekanntlich eine Teilmenge einer Zahlenmenge M, die aus allen Zahlen x besteht, die folgende Bedingungen erfüllen:
  x ,   a ,   b ∈ M       u n d       a ≤ x ≤ b
(Damit gehören beide Randpunkte a und b zum Intervall. Ist dies nicht der Fall, spricht man von einem offenen bzw. halboffenen Intervall.)

Den Begriff der Intervallschachtelung definieren wir nun folgendermaßen:

  • Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen [ a 1 ;   b 1 ] ,       [ a 2 ;   b 2 ] ,       [ a 3 ;   b 3 ] ,       ... mit [ a n + 1 ;   b n + 1 ] ⊆ [ a n ;   b n ] für alle n ∈ ℕ heißt Intervallschachtelung, wenn die Intervalllängen b n − a n mit wachsendem n immer kleiner werden und unter jede noch so kleine Schranke sinken.

Es gilt dann a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n ≤ b n ≤ ... ≤ b 2 ≤ b 1 für alle n und die Folge ( b n − a n ) ist eine Nullfolge.

  • Prinzip der Intervallschachtelung

In der Menge ℕ der natürlichen Zahlen und in der Menge ℤ der ganzen Zahlen lassen sich solche Intervallschachtelungen, bei denen das folgende Intervall immer eine Teilmenge des vorhergehenden ist und bei denen die Intervalllängen immer kleiner werden, nicht bilden, da die Intervalllänge 1 nicht unterschritten werden kann.

In der Menge ℚ der rationalen Zahlen dagegen lassen sich solche Intervallschachtelungen bilden, da die rationalen Zahlen überall dicht liegen. Damit ist die Bedingung, dass die Folge ( b n − a n ) eine Nullfolge ist, erfüllbar.

Jede Intervallschachtelung in ℚ besitzt nun einen Kern c mit a n ≤ c ≤ b n für alle n ∈ ℕ . Dieser Kern ist eine reelle Zahl.
Wir betrachten dazu zwei Beispiele:

Bild

Wie Beispiel 2 zeigt, muss der Kern einer Intervallschachtelung in der Menge ℚ der rationalen Zahlen nicht immer selbst eine rationale Zahl sein.

Durch eine Intervallschachtelung wird aber genau eine reelle Zahl (als Kern) definiert. Die Existenz eines Kernes ist gesichert, weil a n = c = b n möglich ist. Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die Annahme zweier verschiedener Kerne c 1       u n d       c 2 im Widerspruch zu der Bedingung steht, dass ( b n − a n ) eine Nullfolge ist.

In der Menge ℝ der reellen Zahlen besitzt jede Intervallschachtelung als Kern eine reelle Zahl. Damit ist die Menge der reellen Zahlen abgeschlossen, d.h. eine Erweiterung ohne Verzicht auf wesentliche Eigenschaften ist nicht mehr möglich.

Die Verknüpfung reeller Zahlen (das Rechnen mit ihnen) kann man nun mithilfe der sie definierenden Intervallschachtelungen erklären. Dabei zeigt sich, dass man mit reellen Zahlen wie mit rationalen Zahlen rechnen kann. Insbesondere gelten solche Gesetzmäßigkeiten wie die Kommutativ- und Assoziativgesetze der Addition und Multiplikation sowie das Distributivgesetz.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Intervallschachtelungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/intervallschachtelungen (Abgerufen: 20. May 2025, 20:56 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Kern einer Intervallschachtelung
  • Nullfolge
  • Rechnen mit reellen Zahlen
  • Zahlenmengen
  • Dedekind
  • dedekindscher Schnitt
  • rationale Zahlen
  • reelle Zahlen
  • abgeschlossenes Intervall
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Archimedes von Syrakus

* etwa 287 v.Chr.
† 212 v.Chr.

ARCHIMEDES VON SYRAKUS zählt zu den bedeutendsten Mathematikern nicht nur der Antike. Viele seiner Ideen waren Ausgangspunkt für wissenschaftliche Arbeiten von Mathematikern verschiedenster Epochen.
ARCHIMEDES entwickelte Methoden zur Bestimmung des Schwerpunktes und des Inhalts von Flächen und Körpern. Er schrieb über Arithmetik und Astronomie. Des Weiteren beschäftigte er sich intensiv mit mathematischen Grundlagen physikalischer Prozesse.

Karl Theodor Wilhelm Weierstraß

* 31. Oktober 1815 Ostenfelde (Westfalen)
† 19. Februar 1897 Berlin

KARL WEIERSTRASS arbeitete vor allem auf den Gebieten der Funktionentheorie und der Analysis. Er lehrte an der Berliner Universität; zu seinen Schülern gehörten solche bekannten Mathematiker wie GEORG CANTOR und FELIX KLEIN.

Julius Wilhelm Richard Dedekind

* 6. Oktober 1831 Braunschweig
† 12. Februar 1916 Braunschweig

RICHARD DEDEKINDS Hauptinteressen lagen auf dem Gebiet der algebraischen Zahlentheorie. Insbesondere wurde er durch seine theoretische Fundierung der reellen (irrationalen) Zahlen mithilfe des sogenannten dedekindschen Schnittes bekannt.

Dedekindscher Schnitt

Durch einen dedekindschen Schnitt t werden Zahlenmengen in ein Paar Teilmengen A und B so zerlegt, dass für jedes a ∈ A und jedes b ∈ B die Beziehung a ≤ t ≤ b gilt (wobei t eine reelle Zahl ist).
Man kann dedekindsche Schnitte in der Menge ℚ der rationalen Zahlen benutzen, um die Menge der reellen Zahlen ℝ zu definieren.

Zur Geschichte der Zahlen

Unser dekadisches Positionssystem geht auf den indischen Kulturkreis zurück. Der arabische Mathematiker AL-CHWARIZMI erklärte und verwendete im Jahre 820 in seinem Lehrbuch der Arithmetik neue indische Ziffern. Im 12. Jahrhundert wurde dieses Buch in Spanien durch ROBERT VON CHESTER übersetzt. Von da aus traten die sogenannten arabischen Ziffern ihren Siegeszug an.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025