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Wurzeln, Rechnen

a = c n (gesprochen: a ist gleich n-te Wurzel aus c)
Dabei heißen n der Wurzelexponent, c der Radikand und a der Wurzelwert.
Im Bereich der reellen Zahlen existiert die n-te Wurzel aus c stets, wenn c eine nichtnegative reelle Zahl und n eine natürliche Zahl ( n > 1 ) ist.
Wurzeln aus negativen Zahlen existieren im Bereich der reellen Zahlen nicht.

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a = c n (gesprochen: a ist gleich n-te Wurzel aus c)
Dabei heißen n der Wurzelexponent, c der Radikand und a der Wurzelwert (Bild 1).
Im Bereich der reellen Zahlen existiert die n-te Wurzel aus c stets, wenn c eine nichtnegative reelle Zahl und n eine natürliche Zahl ( n > 1 ) ist.

Wurzeln mit dem Wurzelexponenten 2 nennt man Quadratwurzeln und vereinbart, dass der Wurzelexponent nicht geschrieben werden muss:
a = 2 a

Wurzeln aus negativen Zahlen existieren im Bereich der reellen Zahlen nicht.

Die folgende Definition erlaubt es, Wurzeln als Potenzen zu schreiben:

a m = n a m n     ( a > 0 ;     m ,       n ∈ ℕ ;     m ≥ 1 ;   n ≥ 2 )

  • a ist die n- te Wurzel aus c

Beim Rechnen mit Wurzeln werden die in der Tabelle des Bildes 2 dargestellten Wurzelgesetze angewandt.
Zusätzlich zu diesen Wurzelngesetzen gilt:
1   n   = 1                       0 n     = 0                       a n n = a     ( a > 0 )

 

  • Wurzelgesetze und Beispiele
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Wurzeln, Rechnen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/wurzeln-rechnen (Abgerufen: 30. June 2025, 04:00 UTC)

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Pythagoreische Zahlentripel

Drei Zahlen a, b und c, für die a 2 + b 2 = c 2 gilt, bilden ein sogenanntes pythagoreisches Zahlentripel.

Pythagoreische Zahlentripel sind zum Beispiel:

  • 3, 4 und 5, denn 9 + 16 = 25
  • 5, 12 und 13, denn 25 + 144 = 169
  • 8, 15 und 17, denn 64 + 225 = 289
  • 9, 40 und 41, denn 81 + 1600 = 1681

Carl Friedrich Gauß

CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855), deutscher Mathematiker und Physiker
* 30.04.1777 Braunschweig
† 23.02.1855 Göttingen

CARL FRIEDRICH GAUSS war lange Jahre Professor für Astronomie und Direktor der Sternwarte in Göttingen. Mathematisch arbeitete er vor allem auf den Gebieten der Zahlentheorie und der Geometrie. Großes Interesse hatte er auch an Geodäsie.

Allgemeine Wurzelfunktionen

Funktionen mit Gleichungen der Form   y = f ( x ) = x m n   ( x ≥ 0 ;       m ,   n ∈ ℕ ;     m ≥ 1 ;     n ≥ 2 )
heißen Wurzelfunktionen.
Wurzelfunktionen sind spezielle Potenzfunktionen, wenn man als Exponenten nicht nur ganze Zahlen, sondern auch gebrochene Zahlen zulässt:
  x m n = x m n   ( x ≥ 0 ;     m ,   n ∈ ℕ ;     m ≥ 1 ;     n ≥ 2 )
Als Wurzelfunktionen bezeichnet man im weiteren Sinne ebenfalls alle Funktionen, in deren Funktionsterm das Argument x als Bestandteil eines Wurzelradikanden auftritt, z. B. also:
  f ( x ) = x − 2 4 ,     g ( x ) = 5 4 − x 3

Spezielle Wurzelfunktion

Besonders häufig treten Funktionen mit Gleichungen der Form y = f ( x ) = x 2 = x auf. Die Funktion f ( x ) = x ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu y = g ( x ) = x 2 , jedoch nur für x ≥ 0 , da die Gleichung g ( x ) = x 2 keine umkehrbar eindeutige (eineindeutige) Zuordnung beschreibt.

Exponentialfunktionen

Funktionen mit Gleichungen der Form
  y = f ( x ) = a x   ( a ∈ ℝ ;       a > 0 ;       a ≠ 1 )
heißen Exponentialfunktionen. Ihr Definitionsbereich ist die Menge ℝ der reellen Zahlen.

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