Potenzfunktionen, allgemein

Funktionen mit Gleichungen der Form $y=x^n\left(x\in ℝ,n\in \mathbb{Z}\right)$ heißen Potenzfunktionen.

Es ist zweckmäßig, eine Einteilung der Potenzfunktionen in Abhängigkeit vom Exponenten n vorzunehmen:

• Ist der Exponent n in $y=f\left(x\right)=x^n$ eine gerade Zahl $\left(n=2k\text{mit }\text{k}\in \mathbb{Z}\right)$, so liegen gerade Funktionen vor.
  Die y-Achse ist die Symmetrieachse für alle diese Funktionsgraphen (Bild 1).
   
• Ist der Exponent n in $y=f\left(x\right)=x^n$ eine ungerade Zahl $\left(n=2k+1\text{mit }\text{k}\in \mathbb{Z}\right)$, so liegen ungerade Funktionen vor.
  Die Funktionsgraphen sind punktsymmetrisch (zentralsymmetrisch) zum Koordinatenursprung O (Bild 2).

Bezüglich der Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten kann man folgende Fälle unterscheiden.

Die Graphen der Funktion $y=f(x)=x^{-1},y=f(x)=x^{-3}\mathrm{...}$ heißen Hyperbeln ersten, dritten … Grades. Sie bestehen aus zwei Teilen, den Hyperbelästen.

Die Funktionen mit $y=f(x)=x^{2k+1}(k\in \mathbb{N})$ sind eineindeutig und lassen sich im gesamten Definitionsbereich umkehren.

Die Umkehrfunktionen heißen Wurzelfunktionen.