Logarithmusgleichungen

Das Lösen von Logarithmengleichungen erfolgt, indem man beide Seiten zur Basis a potenziert und Logarithmen- bzw. Potenzgesetze anwendet:
log a x = b a log a x = a b x = a b

  • Beispiel 1: Wie groß muss eine natürliche Zahl a mindesten sein, damit ihre n-te Potenz größer als eine gegebene Zahl b ( m i t b > a ) ist?

Es ist also die Lösungsmenge der Ungleichung a n > b im Grundbereich der natürlichen Zahlen zu ermitteln (wobei b und n gegeben sind und a gesucht ist).
Lösung:
a n > b Logarithmieren zur Basis 10 n lg a > lg b lg a > 1 n lg b Potenzieren zur Basis 10 a > 10 1 n b

  • Beispiel 2: Wie groß muss eine Zahl sein, damit ihre 5. Potenz größer als 8000 ist?

Gesucht sind also alle natürlichen Zahlen a mit a 5 > 8000. Es sind also n = 5 u n d b = 8000 in die oben ermittelte allgemeine Lösung einzusetzen.
Man erhält:

a = 10 0,2 lg 8000 10 0,781 6,03

Die Lösung lautet damit a = 7 .
Anmerkung: Ein Runden auf die Zahl 6 wäre falsch, denn es gilt 6 5 = 7776 .

Logarithmengleichungen können auch mithilfe von Computeralgebrasystemen gelöst werden.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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