Lösen von Exponentialgleichungen

Als Beispiele betrachten wir die folgenden:
$\begin{array}{cccc}(1)& {64}^x=16& \left(2\right)& 3^{x^2-5}={81}^x\\ \left(3\right)& 3^{x^2-5}=8^x& \left(4\right)& 2^x+x^2=2\end{array}$

Tritt die Unbekannte nur als Exponent auf, so spricht man von einer reinen Exponentialgleichung (Beispiele 1, 2 und 3).

Lösen durch Exponentenvergleich

Wenn eine reine Exponentialgleichungen zu lösen ist, bei der nur eine Basis der Exponenten auftritt oder unterschiedliche Basen auf die gleiche zurückgeführt werden können, kann man die Potenzgesetze anwenden und die Unbekannte durch einen Vergleich der Exponenten ermitteln. In obigen Beispielen 1 und 2 ist dies der Fall.

• Beispiel 1: ${64}^x=1$

Wegen $64=2^{6}und16=2^4$ ist die zu lösende Gleichung äquivalent zu
${\left(2^6\right)}^x=2^4$
und nach den Potenzgesetzen zu $2^{6x}=2^4.$
Die beiden Exponenten müssen gleich sein, also gilt:
$6x=4\Rightarrow x=\frac{2}{3}$
Die Probe bestätigt diese Lösung, denn es ist:
${64}^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{{64}^2}=\sqrt[3]{4096}=16\left({16}^3=4096\right)$

• Beispiel 2: $3^{x^2-5}={81}^x$

Auch hier lassen sich wegen $81=3^4$ gleiche Basen herstellen.
Damit ist die Ausgangsgleichung äquivalent zu:
$3^{x^2-5}=3^{4x}$
Der Exponentenvergleich liefert $x^2-4x=5$ und damit die quadratische Gleichung $x^2-4x-5=0.$
Nach der Lösungsformel erhält man $x_1=5und{x}_2=-1.$

Die Probe für $x_1$ liefert:
$\begin{array}{ll}linkeSeite\text{:}\hfill & 3^{25-5}=3^{20}=3^{4\cdot 5}={81}^5\hfill \\ \text{rechte}\text{Seite:}\hfill & {81}^5\hfill \end{array}$

Für $x_2$ ergibt sich:
$\begin{array}{ll}linkeSeite\text{:}\hfill & 3^{1-5}=3^{-4}={81}^{-1}\hfill \\ \text{rechte}\text{Seite:}\hfill & {81}^{-1}\hfill \end{array}$
Die Probe bestätigt also die Richtigkeit beider Lösungen.

Lösen durch Logarithmieren

In Beispiel 3 wäre es schwierig, gleiche Basen für die vorhandenen Exponenten herzustellen. Derartige Exponentialgleichungen (natürlich auch solche, wie die vorangehenden) lassen sich lösen, indem man beide Seiten logarithmiert und dann die Logarithmengesetze anwendet. Dabei kann man als Basis der Logarithmen jede beliebige positive Zahl a $\left(mita\ne 1\right)$ wählen. Da die dekadischen und die natürlichen Logarithmen, also die Logarithmen zu den Basen 10 und e tabelliert vorliegen bzw. mit einem Taschenrechner leicht zu ermitteln sind, wird man im Allgemeinen eine dieser Basen wählen.

• Beispiel 3: $3^{x^2-5}=8^x$

Logarithmieren ergibt:
$\begin{array}{c}\lg \left(3^{x^2-5}\right)=\lg 8^x\\ \left(x^2-5\right)\cdot \lg 3=x\cdot \lg 8\end{array}$
Rechnet man mit rationalen Näherungswerten erhält man $\lg 8\approx \mathrm{0,90309,}\lg 3\approx \mathrm{0,47712}$ und $\frac{\lg 8}{\lg 3}\approx \mathrm{1,8928}$.
Damit ergibt sich die quadratische Gleichung $x^2-\mathrm{1,8928}x-5=0$.
Nach der Lösungsformel erhält man als rationale Näherungswerte:
$x_1\approx \mathrm{3,3745}und{x}_2\approx -\mathrm{1,4817}$

Die Probe für $x_1$ liefert:
$\begin{array}{ll}linkeSeite\text{:}\hfill & 3^{{\mathrm{3,3745}}^2-5}\approx 3^{\mathrm{6,38725}}\approx \mathrm{1115,6}\hfill \\ \text{rechte}\text{Seite:}\hfill & 8^{\mathrm{3,3745}}\approx \mathrm{1115,2}\hfill \end{array}$

Für $x_2$ erhält man:
$\begin{array}{ll}linkeSeite\text{:}\hfill & 3^{{\left(-\mathrm{1,4817}\right)}^2-5}\approx 3^{-\mathrm{2,80457}}\approx \mathrm{0,045907}\hfill \\ \text{rechte}\text{Seite:}\hfill & 8^{-\mathrm{1,4817}}\approx \mathrm{0,045908}\hfill \end{array}$

Die Probe, bei der mit rationalen Näherungswerten unter Verwendung eines Taschenrechners gerechnet wurde, scheint die Richtigkeit beider Lösungen zu bestätigen. Die geringfügigen Abweichungen dürften aus Rundungsfehlern resultieren. Absolute Sicherheit ist allerdings im Unterschied zum vorangehenden Beispiel nicht gegeben. Um diese zu erreichen, müssten umfangreiche Genauigkeitsbetrachtungen zu den durchgeführten Rechnungen angestellt oder es dürfte nicht mit Näherungswerten gerechnet werden.

Grafisches Lösen

Wenn keine reinen Exponentialgleichungen zu lösen sind, bietet sich unter Umständen ein grafisches Lösen an. Ein solcher Fall liegt im eingangs genannten Beispiel 4 vor.

• Beispiel 4: $2^x+x^2=2$

Aus $2^x+x^2=2$ erhält man durch Umformen $2^x=-x^2+2.$ Nimmt man nun die zugehörigen Funktionen $y=f\left(x\right)=2^x$ und $y=g\left(x\right)=-x^2+\mathrm{2,}$ so ist das Lösen der Gleichung gleichbedeutend mit der Ermittlung der Abszissen der Schnittpunkte der beiden Funktionsbilder.

Aus dem Graphen kann man die Werte $x_1=-\mathrm{1,25}und{x}_2=\mathrm{0,6}$ ablesen.

Die Probe für $x_1$ liefert:
$\begin{array}{ll}linkeSeite\text{:}\hfill & 2^{-\mathrm{1,25}}+{\left(-\mathrm{1,25}\right)}^2\approx \mathrm{0,420448}+\mathrm{1,5625}\approx \mathrm{1,98}\hfill \\ \text{rechte}\text{Seite:}\hfill & 2\hfill \end{array}$

Für $x_2$ ergibt sich:
$\begin{array}{ll}linkeSeite\text{:}\hfill & 2^{\mathrm{0,6}}+{\left(\mathrm{0,6}\right)}^2\approx \mathrm{1,51572}+\mathrm{0,36}\approx \mathrm{1,88}\hfill \\ \text{rechte}\text{Seite:}\hfill & 2\hfill \end{array}$