Logarithmengleichungen

Für gegebenes k und m kann man den Wert berechnen, der dann auf die nächstgrößere natürliche Zahl zu runden ist.
Mit dem interaktivem Rechenbeispiel können beliebige Gleichungen mit dekadischen Logarithmen gelöst werden.

Beispiel 2:
Nach wie vielen Jahren hat sich ein mit 5 % p. a. mit Zinseszins angelegtes Kapital K verdoppelt?

Lösung:
Am Ende eines jeden Jahres ist das vorhandene Kapital K mit 1,05 zu multiplizieren.
$\begin{array}{l}K\cdot {\mathrm{1,05}}^n=2K|:K\\ {\mathrm{1,05}}^n=2|\log arithmieren\\ n\cdot \lg \mathrm{1,05}=\lg 2|:\lg \mathrm{1,05}\\ n=\frac{\lg 2}{\lg \mathrm{1,05}}\\ n\approx \mathrm{14,2}\end{array}$

Im 15. Jahr hat sich das Kapital verdoppelt.

Beispiel 3:
Bei welchem Zinssatz verdoppelt sich ein Kapital K in 12 Jahren?
Lösung:
$\begin{array}{l}K{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^{12}=2K|:K\\ {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^{12}=2|\log arithmieren\\ 12\lg \left(1+\frac{p}{100}\right)=\lg 2|:12\\ \lg \left(1+\frac{p}{100}\right)=\mathrm{0,0251}\\ 1+\frac{p}{100}={10}^{\mathrm{0,0251}}\\ 1+\frac{p}{100}\approx \mathrm{1,0595}\\ p\approx \mathrm{5,95}\end{array}$

Bei einem Zinssatz von ca. 6 % verdoppelt sich das Kapital in 12 Jahren.