Lösen von Anwendungsaufgaben mithilfe von Exponentialgleichungen

Zinseszinsrechnung

  • Beispiel 1: Nach wie vielen Jahren hat sich ein Kapital verdoppelt, wenn man es zu 3 % fest anlegt und die Zinsen jährlich dem Kapital zugeschlagen werden?

Die geeignete Formel lautet: K n = K 0 q n
Dabei bedeuten K 0 das Anfangskapital, n die Anzahl der Jahre, K n das Kapital nach n Jahren und q = 1 + p 100 mit dem Prozentsatz (Zinssatz) p.
Gesucht ist die Anzahl der Jahre n.
Gegeben:
K n = 2 K 0 p = 3, a l s o q = 1,03

Lösung:
2 = 1,03 n L o g a r i t h m i e r e n lg 2 = n lg 1,03 n = lg 2 lg 1,03 = 0,3010 0,01284

Da n eine natürliche Zahl sein muss, kommt als Lösung nur n = 24 in Betracht. Für n = 23 erhält man K 23 = 1,97 K 0 und für n = 24 ergibt sich K 24 = 2,03 K 0 . Eine genaue Verdopplung des Kapitals ist unter den angegebenen Bedingungen nicht möglich.

Atmosphärischer Luftdruck

Der atmosphärische Luftdruck kann näherungsweise nach der Formel p H = p 0 e k H berechnet werden.
In dieser Formel ist p 0 der Luftdruck in der Höhe NN (Normalnull, Meeresspiegelhöhe) und k eine für den Luftdruckabfall spezifische Konstante mit k = 1,25 10 4 m 1 .

  • Beispiel 2: In welcher Höhe H befindet sich ein Flugzeug, wenn als äußerer Luftdruck p H = 500 h P a gemessen wurden und der für den Überflugort (per Funk übermittelte) Wert p 0 = 1000 h P a beträgt.

Gegeben sind p 0 = 1000 h P a , p H = 500 h P a und k = 1,25 10 4 m 1 .
Gesucht ist die Höhe H.

Lösung:
Es ist p H = p 0 e k H .
Logarithmieren zur Basis e (da diese in der Gleichung vorkommt) ergibt:

ln p H = ln ( p 0 e k H ) = ln p 0 + ln e k H = ln p 0 k H ( w e g e n ln e = 1 )

Hieraus folgt:

H = ln p 0 ln p H k = ln 1 000 ln 500 1,25 10 000 m 5 545 m

Anmerkung: Bei den gegeben Werten ist nur eine Angabe von H mit H 5500 m sinnvoll, wobei außerdem noch die Höhe des Überflugortes abzuziehen ist.

Entladen eines Kondensator

  • Beispiel 3: Ein elektrischer Kondensator mit der Kapazität C = 30 μ F wurde mit einer Gleichspannung U geladen. Er wird über einen Stromkreis mit einem Widerstand von R = 50 k Ω entladen.
    Nach welcher Zeit ist die Kondensatorspannung auf die Hälfte abgesunken?

Die Berechnung erfolgt mit folgender Formel:
U C = U e t R C

Gegeben: U = 2 U C ; R = 50 k Ω = ; C = 30 μ F = 3 10 5 F
Gesucht ist die Zeit t (es gilt 1 F = 1 A s V 1 u n d 1 Ω = 1 V A 1 , also erhält man t in s).

Lösung:
1 2 = e t 1,5 s
Logarithmieren zur Basis e ergibt:
ln 1 2 = t 1,5 s t = 1,5 ln 1 2 s 1,04 s

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

Lexikon Share
Mathe Note verbessern?
 

Kostenlos bei Duden Learnattack registrieren und ALLES 48 Stunden testen.

Kein Vertrag. Keine Kosten.

  • 40.000 Lern-Inhalte in Mathe, Deutsch und 7 weiteren Fächern
  • Hausaufgabenhilfe per WhatsApp
  • Original Klassenarbeiten mit Lösungen
  • Deine eigene Lern-Statistik
  • Kostenfreie Basismitgliedschaft

Einloggen