Wachstums- und Zerfallsprozesse

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Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Wachstums- und Zerfallsprozesse." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/wachstums-und-zerfallsprozesse (Abgerufen: 20. May 2025, 15:34 UTC)

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Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung

Die einfache lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung $f' (x) + f (x) - x = 0$ lässt sich nicht durch Trennen der Variablen lösen. Wird die Differenzialgleichung nämlich in die Form $f' (x) = x - y$ gebracht, so erkennt man, dass sich die rechte Seite nicht als Produkt $g (x) \cdot h (y)$ schreiben lässt, was Voraussetzung für das Trennen der Variablen ist.
Die Lösung der inhomogenen Gleichung kann jedoch ausgehend von der Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung gefunden werden.

Differenzialgleichungen zur Beschreibung des elektromagnetischen Schwingkreises

Ein elektromagnetischer Schwingkreis ist ein geschlossener Stromkreis, in dem ein Kondensator und eine Spule (mit induktivem und ohmschem Widerstand - in der folgenden Abbildung der Übersichtlichkeit halber getrennt gezeichnet) in Reihe geschaltet sind.

Differenzialgleichungen zur Beschreibung der Füllstandssteuerung einer Talsperre

Der Füllstand einer Talsperre wird ausgedrückt durch das (aktuelle) Stauvolumen V(t), das sich durch den Zu- und Abfluss von Wasser mit der Zeit t ändern kann. Zu- und Abfluss von Wasser geben an, welches Wasservolumen pro Zeiteinheit in die Talsperre hinein- bzw. aus ihr herausfließt.
Beide werden zusammengefasst zur Wasserzufuhr Z(t), die sich ebenfalls mit der Zeit ändern kann. Überwiegt der Zufluss, so gilt $Z (t) \geq 0,$ überwiegt dagegen der Abfluss, so ist $Z (t) \leq 0$ .

Lösen von linearen inhomogenen Differenzialgleichungen 1. Ordnung mittels Variation der Konstanten

Die Gleichung $y^{'} + f (x) y + g (x) = 0$ ist die allgemeine Form einer linearen inhomogenen Differenzialgleichung 1. Ordnung.
Mit Variation der Konstanten wird eine Methode zum Integrieren dieser Gleichung bezeichnet. Die Vorgehensweise besteht darin, zuerst die zugehörige homogene Differenzialgleichung zu lösen, d.h., das Glied g(x) zu vernachlässigen. In diese Lösung geht ein freier Parameter c ein. Dieser wird dann als Funktion von x betrachtet und so bestimmt, dass die so modifizierte Lösung der linearen homogenen Differenzialgleichung der inhomogenen genügt.

Pierre-François Verhulst

* 28. Oktober 1804 Brüssel
† 15. Februar 1849 Brüssel

PIERRE-FRANÇOIS VERHULST gilt als Vorläufer der modernen Bevölkerungsstatistik.
Insbesondere entdeckte er die dem Bevölkerungswachstum zugrunde liegende Gleichung des sogenannten logistischen Wachstums (logistische Gleichung).

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