Mathematische Darstellung elektromagnetischer Schwingungen

Ausgangspunkt muss natürlich die Physik sein. Für die Energie im elektrischen Feld eines Kondensators bzw. für die Energie im magnetischen Feld einer Spule gilt
$E_{el}=\frac{1}{2}\cdot \frac{q^2}{C}$ bzw. $E_{magn}=\frac{1}{2}\cdot L\cdot i^2$.

Die Summe beider wäre konstant, wenn der Stromkreis keinerlei ohmsche Widerstände enthalten würde. Die Rechnung verliefe dann analog der folgenden, wäre aber wesentlich einfacher.

Im Realfall wird die Abnahme der Summe dieser Energien in Joulesche Wärme umgewandelt. Es gilt die Differenzialgleichung:
$\begin{array}{l}-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(E_{el}+E_{magn}\right)=-\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{q^2}{C}+\frac{1}{2}\cdot L\cdot i^2\right)\\ =-\frac{1}{C}\cdot q\cdot \frac{\text{d}q}{\text{d}t}-L\cdot i\cdot \frac{\text{d}i}{\text{d}t}=i^2\cdot R\end{array}$

Unter der Berücksichtigung der Beziehung $\frac{\text{d}q}{\text{d}t}=i$ (Änderung der Ladung q ist die Stromstärke i) und Division durch i ergibt sich:
$-\frac{1}{C}\cdot q\cdot -L\cdot \frac{\text{d}i}{\text{d}t}=i\cdot R$

Diese Differenzialgleichung wäre neben dem Energiesatz ein weiterer möglicher Ausgangspunkt unserer Rechnung. Es ist der kirchhoffsche Maschensatz, nach welchem die Spannungssumme in einer Masche gleich der eingeprägten Spannung ist. Die letzte Differenzialgleichung soll nun gelöst werden, d.h. wir suchen den zeitlichen Verlauf i(t).

Bei dieser Rechnung kann man die Physik vorübergehend vernachlässigen. Wir verlassen uns darauf, dass die Mathematik die Prozesse in der Natur adäquat widerspiegelt. Anschließend ist dann jedoch das Ergebnis physikalisch zu interpretieren.

Da die Gleichung außerdem noch die zeitlich veränderliche Größe q enthält, differenzieren wir nochmals nach der Zeit und erhalten:
$L\cdot \frac{{\text{d}}^{2}i}{\text{d}{t}^2}+R\cdot \frac{\text{d}i}{\text{d}t}+\frac{1}{C}\cdot i=0$

Damit sind nur noch die Variablen t und i enthalten.
Wir versuchen, die Gleichung mit dem Ansatz $i=i_0\cdot {\text{e}}^{-\delta t}\cdot \cos \omega t$ zu lösen, vermuten also eine gedämpfte Schwingung. Durch Einsetzen des Ansatzes in die Gleichung prüfen wir, ob das tatsächlich eine Lösung ist und welchen Wert die Größen $\omega$ und $\delta$ haben. Wir haben die Ansatzgleichung zweimal zu differenzieren und in die Differenzialgleichung einzusetzen. Das ergibt
$i_0\cdot {\text{e}}^{-\delta t}\cdot \left(\begin{array}{l}L\cdot {\delta }^2\cdot \cos \omega t+2\cdot L\cdot \omega \cdot \delta \cdot \sin \omega t-L\cdot {\omega }^2\cdot \cos \omega t\\ -R\cdot \delta \cdot \cos \omega t-R\cdot \omega \cdot \sin \omega t+\frac{1}{C}\cdot \cos \omega t\end{array}\right)=0$.

Physikalisch sinnvoll ist nur das Nullsetzen des Klammerausdruckes. Dieser muss identisch verschwinden, d.h. für alle t. Das ist nur der Fall, wenn die cos- und sin-Terme getrennt verschwinden. Das führt auf zwei Gleichungen:
$\begin{array}{l}(1)L\cdot {\delta }^2-L\cdot {\omega }^2-R\cdot \delta +\frac{1}{C}=0\\ (2)2\cdot L\cdot \omega \cdot \delta -R\cdot \omega =0\end{array}$

Gleichung (2) liefert sofort $\delta =\frac{R}{2\cdot L}$. Setzt man das in (1) ein, erhält man $\omega =\sqrt{\frac{1}{L\cdot C}-\frac{R^2}{4\cdot L^2}}=\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}$.
${\omega }_{\text{0}}$ ist die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung (R = 0).

Für kleine Dämpfung
($\left(R<\sqrt{\frac{4\cdot L}{C}}\right)$)
ist der Wurzelausdruck reell, es entsteht eine gedämpfte Schwingung:
$i=i_0\cdot {\text{e}}^{-\frac{R}{2\cdot L}\cdot t}\cdot \cos \left(\sqrt{\frac{1}{L\cdot C}-\frac{R^2}{4\cdot L^2}}\cdot t\right)$

Für stärkere Dämpfung kommt keine Schwingung zustande.
Die Stromstärke fällt dann exponentiell („Kriechfall“):
$i=i_0\cdot {\text{e}}^{-\left(\frac{R}{2\cdot L}+\sqrt{\frac{R^2}{4\cdot L^2}-\frac{1}{L\cdot C}}\right)t}$

Unser Ansatz hat also mit einigem Aufwand zu einer Lösung geführt.

Der schnellere Lösungsweg

Ein einfacherer Weg zur Lösung der Differenzialgleichung ist möglich, wenn das Rechnen mit komplexen Zahlen genutzt werden kann.

Der Ansatz zur Lösung ist dann $i=i_0\cdot {\text{e}}^{\alpha \cdot t}$. Gesucht ist $\alpha ,$, es kann auch komplex sein. Differenzieren und Einsetzen in die Differenzialgleichung führt viel schneller als oben zur Gleichung $L\cdot {\alpha }^2+R\cdot \alpha +\frac{1}{C}=0$ mit der Lösung
$\alpha =-\frac{R}{2\cdot L}\pm \sqrt{\frac{R^2}{4\cdot L^2}-\frac{1}{L\cdot C}}=-\frac{R}{2\cdot L}\pm \text{j}\cdot \sqrt{\frac{1}{L\cdot C}-\frac{R^2}{4\cdot L^2}}$.

Für starke Dämpfung nimmt man den ersten Ausdruck und erhält den Kriechfall wie oben. Für kleine Dämpfung nutzt man die eulersche Gleichung ${\text{e}}^{j\cdot \varphi }=\cos \varphi +j\cdot \sin \varphi ,$, nimmt den Realteil und erhält obige Gleichung für die gedämpfte Schwingung.