Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen

Die Veranschaulichung komplexer Zahlen in der komplexen Zahlenebene kann entweder durch die Angabe von achsenparallelen Koordinaten erfolgen, wobei der Realteil auf der x-Achse, der Imaginärteil auf der y-Achse gemessen wird oder dadurch, dass Polarkoordinaten benutzt werden. In diesem Fall wird ein Punkt der Ebene durch den Abstand r des Punktes vom Koordinatenursprung und durch den Winkel $ϕ$ zwischen der reellen Achse und dem Vektor vom Ursprung zu dem die Zahl darstellenden Punkt der Ebene angegeben.
Die komplexe Zahl $z = a + b i$ ist dann durch die folgende Form beschrieben:
$z = r \cos ϕ + i \cdot r \sin ϕ = r (\cos ϕ + i \sin ϕ)$

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Die folgende Abbildung zeigt die Darstellung komplexer Zahlen in der gaußschen Form (der sogenannten Normalform) und in trigonometrischer Form.

Bild

Beim Rechnen mit komplexen Zahlen, insbesondere beim Dividieren, Potenzieren und Radizieren ist die trigonometrische der gaußschen Form vorzuziehen. So gilt für komplexe Zahlen $z_{1} = r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1})$ und $z_{2} = r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2}) :$
$\begin{matrix} z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} [\cos (ϕ_{1} + ϕ_{2}) + i \sin (ϕ_{1} + ϕ_{2})] \\ z^{n} = r^{n} (\cos n ϕ + \sin n ϕ) (n \in ℤ, S a t z v o n M O I V R E) \end{matrix}$

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/trigonometrische-darstellung-komplexer-zahlen (Abgerufen: 20. May 2025, 13:09 UTC)

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Die gaußsche Glockenkurve

Der Graph der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung trägt (vorwiegend im deutschsprachigen Raum) auch die Bezeichnung gaußsche Glockenkurve.
Die Normalverteilung selbst wurde allerdings nicht von CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) entdeckt. Dessen Verdienst um die Wahrscheinlichkeitsrechnung liegt auf einer anderen Ebene. Durch seine Arbeiten zur sogenannten Fehlerrechnung hat er der Entwicklung der Stochastik wichtige Impulse gegeben.

Die gaußsche Summenfunktion

Es sei X eine standardnormalverteilte Zufallsgröße mit der Dichtefunktion
$ϕ (x) : x \mapsto \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} x^{2}} (x \in ℝ)$
und der gaußschen Glockenkurve als Graph ihrer Dichtefunktion.

Die Verteilungsfunktion von X wird mit $Φ$ bezeichnet und gaußsche Summenfunktion (bzw. auch gaußsche Integralfunktion oder GAUSSsches Fehlerintegral) genannt.
Es gilt:
$P (X \leq a) = Φ (a) = \int_{- \infty}^{a} ϕ (x) d x$

Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski

* 20. November 1792 Nishni-Nowgorod
† 12. Februar 1856 Kasan

NIKOLAI IWANOWITSCH LOBATSCHEWSKI gilt neben dem Ungarn JANOS BOLYAI als Begründer der nichteuklidischen Geometrie.
Ausgehend von der Negation des euklidischen Parallelenaxioms gelangte er zur hyperbolischen Geometrie, die heute nach ihm auch lobatschewskische Geometrie genannt wird.

Zur Geschichte des euklidischen Parallelenaxioms

In seinem Hauptwerk „Die Elemente“ legt EUKLID VON ALEXANDRIA (etwa 365 bis etwa 300 v.Chr.) einen systematischen Aufbau der Geometrie vor. Dabei spielt das sogenannte Parallelenaxiom eine besondere Rolle.
Zum Ende des 18. Jahrhunderts setzte sich immer mehr die Erkenntnis durch, dass das Parallelenaxiom nicht aus den anderen Axiomen EUKLIDS ableitbar und damit für den Aufbau der euklidischen Geometrie unverzichtbar ist.
Ausgehend von der Negation des Parallelenaxioms gelang es, völlig neue und in sich widerspruchsfreie Geometrien aufzubauen. Der russische Mathematiker LOBATSCHEWSKI und der Ungar JANOS BOLAYI entdeckten unabhängig voneinander zunächst die hyperbolische Geometrie, BERNHARD RIEMANN entwickelte später die elliptische Geometrie.
Speziell gehört es heute zu den aktuellen Fragen der Physik, welche der Geometrien das Universum im Großen am besten beschreibt. Ist es also elliptisch (sphärisch), euklidisch (eben) oder hyperbolisch?

Darstellung komplexer Zahlen in der gaußschen Zahlenebene

Zur Veranschaulichung komplexer Zahlen wurde von CARL FRIEDRICH GAUSS eine Ebene gewählt, deren x-Achse als Einheit den reellen Wert 1 und deren y-Achse als Einheit den imaginären Wert i verwendet. Jeder komplexen Zahl $a + b i (m i t a, b \in ℝ)$ wird in dieser Ebene umkehrbar eindeutig ein Punkt zugeordnet.

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