Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen

Die Veranschaulichung komplexer Zahlen in der komplexen Zahlenebene kann entweder durch die Angabe von achsenparallelen Koordinaten erfolgen, wobei der Realteil auf der x-Achse, der Imaginärteil auf der y-Achse gemessen wird oder dadurch, dass Polarkoordinaten benutzt werden. In diesem Fall wird ein Punkt der Ebene durch den Abstand r des Punktes vom Koordinatenursprung und durch den Winkel $ϕ$ zwischen der reellen Achse und dem Vektor vom Ursprung zu dem die Zahl darstellenden Punkt der Ebene angegeben.
Die komplexe Zahl $z = a + b i$ ist dann durch die folgende Form beschrieben:
$z = r \cos ϕ + i \cdot r \sin ϕ = r (\cos ϕ + i \sin ϕ)$

Die folgende Abbildung zeigt die Darstellung komplexer Zahlen in der gaußschen Form (der sogenannten Normalform) und in trigonometrischer Form.

Bild

Beim Rechnen mit komplexen Zahlen, insbesondere beim Dividieren, Potenzieren und Radizieren ist die trigonometrische der gaußschen Form vorzuziehen. So gilt für komplexe Zahlen $z_{1} = r_{1} (\cos ϕ_{1} + i \sin ϕ_{1})$ und $z_{2} = r_{2} (\cos ϕ_{2} + i \sin ϕ_{2}) :$
$\begin{matrix} z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} [\cos (ϕ_{1} + ϕ_{2}) + i \sin (ϕ_{1} + ϕ_{2})] \\ z^{n} = r^{n} (\cos n ϕ + \sin n ϕ) (n \in ℤ, S a t z v o n M O I V R E) \end{matrix}$

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