Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 13 Wahrscheinlichkeitstheorie
  4. 13.5 Binomialverteilung
  5. 13.5.7 Normalverteilung
  6. Die gaußsche Glockenkurve

Die gaußsche Glockenkurve

Der Graph der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung trägt (vorwiegend im deutschsprachigen Raum) auch die Bezeichnung gaußsche Glockenkurve.
Die Normalverteilung selbst wurde allerdings nicht von CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) entdeckt. Dessen Verdienst um die Wahrscheinlichkeitsrechnung liegt auf einer anderen Ebene. Durch seine Arbeiten zur sogenannten Fehlerrechnung hat er der Entwicklung der Stochastik wichtige Impulse gegeben.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Im Verlauf des 18. Jahrhunderts wurde insbesondere durch die enorme Verbesserung der Messinstrumente vor allem bei Astronomen, Physikern und Geodäten das Bewusstsein geschärft, dass Messfehler wohl grundsätzlich nicht vermeidbar sind. Zugleich wuchs damit aber auch das Bedürfnis nach einer quantitativen Bestimmung von Messfehlern, insbesondere in der Form einer Messfehlerverteilung.

GAUSS stellte sich dieser aus der Praxis kommenden Herausforderung, wobei er ein allgemeineres Fehlerkonzept zugrunde legte als das des Messfehlers. Dies begründete die Ausstrahlungskraft seiner dazu verfassten wissenschaftlichen Arbeiten. Zugleich beeindruckte nachfolgende Mathematikergenerationen wohl auch die Art und Weise seiner Problemlösung. Unter der Annahme einiger intuitiv einsichtiger mathematischer Einschränkungen über die gesuchte Fehlerverteilung leitete er durch ein streng mathematisch-analytisches Vorgehen die Normalverteilung als Fehlerverteilung her.

Die Rechnungen führten GAUSS zu einem Typ von Glockenkurven, die Gleichungen der folgenden Gestalt genügen:
  g ( x ) = χ ⋅ e −   k x 2     ( m i t       χ ,   k ∈ ℝ + )

Die Funktionen dieser Glockenkurven, die bei x = 0 einen Maximumpunkt haben und dazu zwei symmetrisch gelegene Wendepunkte besitzen, sind im Allgemeinen noch keine Wahrscheinlichkeitsdichten, da sie nicht auf 1 normiert sind. Erforderlich ist also eine entsprechende Parameterbestimmung.

Der Einfachheit wegen kann man fordern, dass die Wendestellen bei x = –1 und x = 1 liegen sollen. Damit lässt sich k bestimmen. Es ist:
  g ' ( x ) = − 2 k χ x e −   k x 2   g ' ' ( x ) = ( 4 k 2 χ x 2 − 2 k χ ) e −   k x 2

Aus der Forderung g ' ' ( − 1 ) = g ' ' ( 1 ) = 2 k χ ( 2 k − 1 ) e − k = 0 folgt dann k = 1 2 .

Nun lässt sich χ aus der für Wahrscheinlichkeitsdichten notwendigerweise geltenden Bedingung
∫ − ∞ ∞ χ ⋅ e −   1 2 x 2 d x = 1
berechnen.

Unter Verwendung von
∫ − ∞ ∞ e −   1 2 x 2 d x = 2 π
ergibt sich χ = 1 2 π .

Wir definieren nun wie folgt:

  • Der Graph der durch ϕ ( x ) = 1 2 π e −   1 2 x 2 für alle x ∈ ℝ definierten Dichtefunktion ϕ heißt gaußsche Glockenkurve.

Die Dichtefunktion hat folgende Eigenschaften:

  1. ϕ ist eine gerade Funktion, d.h., für alle x ∈ ℝ gilt:
    ϕ ( x ) = ϕ ( −   x )
  2. ϕ ist stetig und beliebig oft differenzierbar mit D ϕ = ℝ und W ϕ = ℝ + .
  3. Der Graph von ϕ hat genau einen Maximumpunkt:
    H ( 0 ;   1 2 π ) = H ( 0 ;   ≈ 0,4 )
  4. Der Graph von ϕ hat die Wendepunkte W 1 ;   2 ( ± 1 ;   1 2 π e ) = W 1 ;   2 ( ± 1 ;   ≈ 0,24 ) .
  5. Die x-Achse ist Asymptote des Graphen von ϕ , d.h., es gilt:
    lim x   →   ±   ∞ ϕ ( x ) = 0
  6. Für x < 0 ist ϕ streng monoton wachsend, für x > 0 streng monoton fallend.
  • Graph der Dichtefunktion (gaußsche Glockenkurve)

Es gibt auch andere Glockenkurven, z.B. den Graphen von g mit g ( x ) = 1 π ( 1 + x 2 ) .

Obwohl deren Graph kaum von der gaußschen Glockenkurve abzuweichen scheint, besitzt eine Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion g eine unendliche Streuung.

Sollte es notwendig sein, den Graphen der gaußschen Glockenkurve zu zeichnen, ohne dass weitere Hilfsmittel zur Verfügung stehen, dann können die folgenden leicht zu merkenden Überschlagswerte hilfreich sein:

x00,51,02,03,0
ϕ ( x ) ≈ 0,40 ≈ 0,35 ≈ 0,25 ≈ 0,05 ≈ 0,005
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Die gaußsche Glockenkurve." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/die-gausssche-glockenkurve (Abgerufen: 20. May 2025, 08:00 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Fehlerverteilung
  • Dichtefunktion
  • Gauss
  • Gauß
  • Standardnormalverteilung
  • Glockenkurven
  • Messfehler
  • Fehlerrechnung
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Wahrscheinlichkeitsverteilungen, Ermitteln

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Ermitteln von Wahrscheinlichkeitsverteilungen".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

Simulation

Als Simulation bezeichnet man die Nachbildung (das Nachahmen) eines Zufallsversuchs mithilfe eines geeigneten Zufallsgeräts. Als Zufallsgeräte werden Würfel oder Münzen verwendet, mitunter arbeitet man auch mit (in Tabellen zusammengestellten) Zufallszahlen (Zufallsziffern).

Methoden zum Erstellen von Zufallszahlen

Zufallsziffern können genutzt werden zur Simulation von Zufallsexperimenten (Zufallsversuchen). Mithilfe der Randomfunktion von Computern und Taschenrechnern lassen sich (Pseudo-)Zufallszahlen erzeugen.

Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

Auf der Suche nach „dem durchschnittlichen, dem normalen Menschen“ (l' homme moyen) ließ der auf vielen Gebieten tätige belgische Wissenschaftler LAMBERT ADOLPHE JACQUES QUÉTELET (1796 bis 1874) in den 30er Jahren des 19. Jahrhunderts biometrische Messungen in großem Umfang durchführen. In vielen Fällen wurde dabei seine Vorstellung bestätigt, dass die Häufigkeitsverteilung der gemessenen Werte (etwa zum Brustumfang) einer symmetrischen Glockenkurve entspricht. Das mag wohl auch ein wichtiger Grund dafür gewesen sein, dieser gleichsam als naturgemäß angesehenen Verteilung den Namen Normalverteilung zu geben, wobei diese Bezeichnung auch zu allerlei Fehldeutungen führte – vor allem dann, wenn alles nicht Normalverteilte als anormal eingestuft wurde.

Die gaußsche Summenfunktion

Es sei X eine standardnormalverteilte Zufallsgröße mit der Dichtefunktion
  ϕ ( x ) :     x ↦ 1 2 π e −   1 2 x 2     ( x ∈ ℝ )
und der gaußschen Glockenkurve als Graph ihrer Dichtefunktion.

Die Verteilungsfunktion von X wird mit Φ bezeichnet und gaußsche Summenfunktion (bzw. auch gaußsche Integralfunktion oder GAUSSsches Fehlerintegral) genannt.
Es gilt:
  P ( X ≤ a ) = Φ ( a ) = ∫ −   ∞ a ϕ ( x )   d x

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025