Die verallgemeinert-hypergeometrische Verteilung

• Beispiel: Einer Urne mit genau $N=70$ Kugeln ( $M_1=20$ weißen, $M_2=35$ roten, $M_3=10$ blauen und $M_4=5$ gelben Kugeln) werden nacheinander genau 13 Kugeln „auf gut Glück“ und ohne Zurücklegen entnommen.
  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, dass sich unter den 13 entnommenen Kugeln genau fünf weiße, fünf rote, zwei blaue und eine gelbe Kugel befinden?

Dieser Vorgang kann als ein vierstufiges Zufallsexperiment aufgefasst werden, auf dessen erster Stufe die Anzahl der weißen, auf der zweiten die Anzahl roten, auf der dritten die Anzahl der blauen und auf der vierten die Anzahl der gelben entnommenen Kugeln beschrieben wird. Man könnte versuchen, dieses Zufallsexperiment durch ein Baumdiagramm darzustellen. Aufgrund der großen Anzahl der Pfade (etwa 47,5 Billionen) ist das aber nur schwer realisierbar.

Wesentlich günstiger ist die Beschreibung des Ereignisses A durch das 4-Tupel (5; 5; 2; 1).
Nach dem Zählprinzip für Mengen gibt es für das erste Tupelelement
$\left(\begin{array}{c}20\\ 5\end{array}\right)$
Auswahlmöglichkeiten, für das zweite Tupelelement
$\left(\begin{array}{c}35\\ 5\end{array}\right)$,
für das dritte Tupelelement
$\left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)$
und für das vierte Tupelelement
$\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$.

Nach dem Zählprinzip für Tupel gibt es dann
$\left(\begin{array}{c}20\\ 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}35\\ 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)$
Auswahlmöglichkeiten für das 4-Tupel $\left(5;5;2;1\right)$.
Da nach dem Zählprinzip für Mengen insgesamt
$\left(\begin{array}{c}70\\ 13\end{array}\right)$
Möglichkeiten bestehen, 13 Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne mit 70 Kugeln zu entnehmen, erhält man:
$P\left(A\right)=P\left(\left\{\left(5;5;2;1\right)\right\}\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}20\\ 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}35\\ 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}70\\ 13\end{array}\right)}\approx \mathrm{0,024}$

Das vierstufige Zufallsexperiment kann auch als eine Folge von Zufallsgrößen aufgefasst werden. Es sei

1. $X_1$ die zufällige Anzahl der weißen Kugeln;
2. $X_2$ die zufällige Anzahl der roten Kugeln;
3. $X_3$ die zufällige Anzahl der blauen Kugeln;
4. $X_4$ die zufällige Anzahl der gelben Kugeln.

Dann kann man schreiben:
$P\left(A\right)=P\left(X_1=\mathrm{5,}{X}_2=\mathrm{5,}{X}_3=\mathrm{2,}{X}_4=1\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}20\\ 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}35\\ 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}70\\ 13\end{array}\right)}$

Die Zufallsgrößen $X_1,X_2,X_{3}und{X}_4$ nennt man verallgemeinert-hypergeometrisch verteilt.

Auf diesem Hintergrund definiert man allgemein:

• Die Zufallsgrößen $X_1,X_2,\mathrm{...,}{X}_r$ heißen verallgemeinert-hypergeometrisch verteilt mit den Parametern $N,M_1,M_2,\mathrm{...,}{M}_{r}undn$, wenn für die Einzelwahrscheinlichkeiten gilt:
  $\begin{array}{l}P\left(X_1=m_1,X_2=m_2,\mathrm{...},X_r=m_r\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}{M}_1\\ m_1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{M}_2\\ m_2\end{array}\right)\cdot \mathrm{...}\cdot \left(\begin{array}{c}{M}_r\\ m_r\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}\\ mit{\displaystyle \sum _{i=1}^r{M}_i}=Nund{\displaystyle \sum _{i=1}^r{m}_i}=n\end{array}$