Gleichverteilungen

Auf seinen Erkenntnissen fußend definiert man:

  • Die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Zufallsexperiments mit endlicher Ergebnismenge Ω={e1,e2,...,en} heißt Gleichverteilung, wenn alle zugehörigen atomaren Ereignisse {ei} die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, d.h., wenn gilt: P({e1})=  ({e2})=...=P({en})=1n

Zufallsexperimente mit Gleichverteilung heißen LAPLACE-Experimente.

Dieser definitorische Zugang über den mathematischen Begriff Zufallsexperiment erweist sich nicht immer als zweckmäßig. Einfacher zu handhaben ist vielfach eine Definition, die sich auf den mathematischen Begriff Zufallsgröße stützt.

  • Eine endliche Zufallsgröße
    X(x1x2...xnp1p2...pn)
    heißt gleichverteilt, wenn sie jeden ihrer Werte xi mit der gleichen Wahrscheinlichkeit annimmt, d.h. wenn gilt: p1=p2=...=pn=1n

Eine (diskrete) gleichverteilte Zufallsgröße kann also nur endlich viele Werte annehmen und alle diese Werte haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Eine Gleichverteilung aus abzählbar unendlich vielen Werten kann es offensichtlich nicht geben.

Gleichverteilungen für diskrete Zufallsgrößen

Eine diskrete Gleichverteilung kann durch folgendes Urnenmodell beschrieben werden.
Einer Urne mit genau n (von 1 bis n durchnummerierten, aber ansonsten nicht unterscheidbaren) Kugeln wird „auf gut Glück“ genau eine Kugel entnommen.
Unter der Zufallsgröße X soll die zufällige Nummer der herausgegriffenen Kugel verstanden werden.
Es gilt:
X(12...n1n1n...1n)

Aus der grafischen Darstellung einer gleichverteilten Zufallsgröße X und ihrer Verteilungsfunktion F erkennt man, dass zwar die Ordinatenwerte P(X=xi) bzw. die Differenzen F(xi)F(xi1) alle gleich 1n sind, die Differenzen der Abszissenwerte xixi1 aber durchaus nicht gleich sein müssen (i = 1; 2; ...; n).

Bild

Der Erwartungswert einer diskreten gleichverteilten Zufallsgröße X ergibt sich als arithmetisches Mittel der Werte xi, d.h. es gilt:
EX=1ni=1nxi

Für die Streuung (bzw. Varianz) folgt somit:
D2X=1ni=1nxi2(1ni=1nxi)2

Für den Spezialfall des oben angegebenen Urnenmodells lassen sich die beiden Kenngrößen der Gleichverteilung folgendermaßen vereinfachen:
EX=1ni=1ni=1nn(n+1)2=n+12D2X=1ni=1ni2(n+12)2=n2112

Gleichverteilungen für stetige Zufallsgrößen

Die über die diskrete Gleichverteilung gemachten Aussagen können auf stetige Zufallsgrößen ausgedehnt werden.

  • Eine stetige Zufallsgröße X heißt gleichverteilt über dem Intervall [a;b](mita<b), wenn für ihre Dichtefunktion f gilt:
    f(x)={1bafüraxb0sonst

Eine über einem Intervall gleichverteilte (stetige) Zufallsgröße bezeichnet man auch als Zufallsgröße mit einer Rechtecksverteilung oder mit einer (stetigen) gleichmäßigen Verteilung. Für die Verteilungsfunktion F gilt:
F(x)=P(X<x)=xf(t)dt=1baaxdt=1ba[t]xa={0fürx<axabafürax<b1fürbx

Der Graph der Dichtefunktion f und der der Verteilungsfunktion F sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Bild

Die Kenngrößen Erwartungswert und Streuung (bzw. Varianz) der stetigen Gleichverteilung ergeben sich wie folgt:
EX=a+b2; D2X=(ba)212

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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