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Differenzialgleichungen zur Beschreibung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators

In einem Gleichstromkreis befindet sich eine Spannungsquelle mit der Spannung U 0 ein ohmscher Widerstand R und ein Kondensator mit der Kapazität C.
Wird Spannung angelegt, so fließt über den Widerstand R ein Strom I zum Kondensator und lädt ihn auf. Dabei wächst die Kondensatorspannung U C = Q C .

Beim Stromfluss fällt am Widerstand die Spannung U R = I ⋅ R ab. Die Summe aus Spannungsabfall am ohmschen Widerstand und Kondensatorspannung ist immer gleich der Spannung der Spannungsquelle.

Es gilt also U 0 = U R + U C = I R + Q C , woraus mit I = d Q d   t folgt:
U 0 = R d Q d   t + Q C   b z w .   d Q d   t + Q R C = U 0 R

Diese Gleichung ist eine lineare inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung der Form f ′ ( x ) + q   f ( x ) = s mit den Koeffizienten q = 1 R C   u n d   s = U 0 R sowie der gesuchten Funktion Q = Q ( t ) , die im Folgenden zu lösen ist.

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  • Gleichstromkreis mit Spannungsquelle, Kondensator und ohmschen Widerstand

Aus der allgemeinen Lösung
y = f ( x ) = { c + s x , w e n n       q = 0 c ⋅ e −     q   x + s q , w e n n       q ≠ 0     m i t       c     k o n s tan t
erhält man als Lösung der Gleichung:
Q ( t ) = c ⋅ e − t R C + U 0 C

Nun werden die Anfangswertprobleme für den Lade- und Entladevorgang des Kondensators gelöst. Beim Laden liefert die Spannungsquelle die Spannung U 0 ; zu Beginn des Ladevorgangs befindet sich noch keine Ladung auf dem Kondensator. Beim Entladen liegt keine äußere Spannung an, der Kondensator verfügt bei t = 0 über eine Spannung U C 0 = U C ( 0 ) und trägt demzufolge die Ladung Q 0 = U C 0 ⋅ C .

 LadevorgangEntladevorgang
Bedingungen U 0 ≠ 0,   Q ( 0 ) = 0 U 0 = 0,   Q ( 0 ) = Q 0 = U C 0 ⋅ C
Gleichung lösen Q ( t ) = c ⋅ e − 1 R C + U 0 C Q ( 0 ) = 0 = c + U 0 C c = − U 0 C Q ( t ) = c ⋅ e − 1 R C Q ( 0 ) = U C 0 C = c c = U C 0 ⋅ C
partikuläre
Lösung für Q
Q ( t ) = − U 0 C ⋅ e − 1 R C + U 0 C Q ( t ) = U 0 C ( 1 − e − 1 R C ) Q ( t ) = U C 0 ⋅ C ⋅ e − 1 R C
Spannung am
Kondensator
U C = Q C
U C ( t ) = U 0 ( 1 − e − 1 R C ) U C ( t ) = U C 0 ⋅ e − 1 R C
Spannung am
Kondensator mit Bild
U C ( t ) = 40 V ( 1 − e − 10 s   − 1   ⋅   t ) U C ( t ) = 40 V ⋅ e − 10 s   − 1   ⋅   t

Wir betrachten nun den folgenden Spannungsverlauf für einen Lade- und einen Entladevorgang. Die Kapazität des Kondensators beträgt C = 100   n F . Die Spannungsquelle hat beim Einschalten eine Spannung von 40 V, die gleiche Spannung hat auch der Kondensator beim Abschalten. Der ohmsche Widerstand beträgt 1000   k Ω   .

  • Spannungsverlauf für einen Lade- und einen Entladevorgang eines Kondensators

Um eine geeignete Einteilung der Zeitachse zu ermöglichen, wird zuerst diejenige Zeit t   h ermittelt, die verstreicht, bis der Kondensator mit einer Spannung von 40 V zur Hälfte entladen ist:
U C ( t   h ) = U C 0 2 = U C 0 ⋅ e − t   h R C ,   a l s o   1 2 = e − t   h R C u n d   d a m i t   − ln 2 = − t   h R C   o d e r t   h = ln 2 ⋅ R ⋅ C = 0,693 ⋅ 10 6 V A ⋅ 10 − 7 A s V = 6,93 ⋅ 10 − 2 s = 69,3   m s

Die grafische Darstellung erfolgt mit Blick auf die Halbwertszeit im Zeitintervall von 0 bis 0,4 s bzw. von 0 bis 400 ms. Ferner gilt R ⋅ C = 10 6 V A ⋅ 10 − 7 A s V = 10 − 1 s .

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Differenzialgleichungen zur Beschreibung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/differenzialgleichungen-zur-beschreibung-des-lade-und (Abgerufen: 18. July 2025, 19:51 UTC)

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