Differenzialgleichungen zur Beschreibung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators

In einem Gleichstromkreis befindet sich eine Spannungsquelle mit der Spannung $U_{0}$ ein ohmscher Widerstand R und ein Kondensator mit der Kapazität C.
Wird Spannung angelegt, so fließt über den Widerstand R ein Strom I zum Kondensator und lädt ihn auf. Dabei wächst die Kondensatorspannung $U_{C} = \frac{Q}{C} .$

Beim Stromfluss fällt am Widerstand die Spannung $U_{R} = I \cdot R$ ab. Die Summe aus Spannungsabfall am ohmschen Widerstand und Kondensatorspannung ist immer gleich der Spannung der Spannungsquelle.

Es gilt also $U_{0} = U_{R} + U_{C} = I R + \frac{Q}{C},$ woraus mit $I = \frac{d Q}{d t}$ folgt:
$U_{0} = R \frac{d Q}{d t} + \frac{Q}{C} b z w . \frac{d Q}{d t} + \frac{Q}{R C} = \frac{U_{0}}{R}$

Diese Gleichung ist eine lineare inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung der Form $f' (x) + q f (x) = s$ mit den Koeffizienten $q = \frac{1}{R C} u n d s = \frac{U_{0}}{R}$ sowie der gesuchten Funktion $Q = Q (t)$ , die im Folgenden zu lösen ist.

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Aus der allgemeinen Lösung
$y = f (x) = {\begin{matrix} c + s x, & w e n n q = 0 \\ c \cdot e^{- q x} + \frac{s}{q}, & w e n n q \neq 0 \end{matrix} m i t c k o n s \tan t$
erhält man als Lösung der Gleichung:
$Q (t) = c \cdot e^{- \frac{t}{R C}} + U_{0} C$

Nun werden die Anfangswertprobleme für den Lade- und Entladevorgang des Kondensators gelöst. Beim Laden liefert die Spannungsquelle die Spannung $U_{0};$ zu Beginn des Ladevorgangs befindet sich noch keine Ladung auf dem Kondensator. Beim Entladen liegt keine äußere Spannung an, der Kondensator verfügt bei $t = 0$ über eine Spannung $U_{C 0} = U_{C} (0)$ und trägt demzufolge die Ladung $Q_{0} = U_{C 0} \cdot C .$

	Ladevorgang	Entladevorgang
Bedingungen	$U_{0} \neq 0, Q (0) = 0$	$\begin{array}{l} U_{0} = 0, \\ Q (0) = Q_{0} = U_{C 0} \cdot C \end{array}$
Gleichung lösen	$\begin{array}{l} Q (t) = c \cdot e^{- \frac{1}{R C}} + U_{0} C \\ Q (0) = 0 = c + U_{0} C \\ c = - U_{0} C \end{array}$	$\begin{array}{l} Q (t) = c \cdot e^{- \frac{1}{R C}} \\ Q (0) = U_{C 0} C = c \\ c = U_{C 0} \cdot C \end{array}$
partikuläre Lösung für Q	$\begin{array}{l} Q (t) = - U_{0} C \cdot e^{- \frac{1}{R C}} + U_{0} C \\ Q (t) = U_{0} C (1 - e^{- \frac{1}{R C}}) \end{array}$	$Q (t) = U_{C 0} \cdot C \cdot e^{- \frac{1}{R C}}$
Spannung am Kondensator $U_{C} = \frac{Q}{C}$	$U_{C} (t) = U_{0} (1 - e^{- \frac{1}{R C}})$	$U_{C} (t) = U_{C 0} \cdot e^{- \frac{1}{R C}}$
Spannung am Kondensator mit	$U_{C} (t) = 40 V (1 - e^{- 10 s^{- 1} \cdot t})$	$U_{C} (t) = 40 V \cdot e^{- 10 s^{- 1} \cdot t}$

Wir betrachten nun den folgenden Spannungsverlauf für einen Lade- und einen Entladevorgang. Die Kapazität des Kondensators beträgt $C = 100 n F .$ Die Spannungsquelle hat beim Einschalten eine Spannung von 40 V, die gleiche Spannung hat auch der Kondensator beim Abschalten. Der ohmsche Widerstand beträgt $1000 k Ω$ .

Um eine geeignete Einteilung der Zeitachse zu ermöglichen, wird zuerst diejenige Zeit $t_{h}$ ermittelt, die verstreicht, bis der Kondensator mit einer Spannung von 40 V zur Hälfte entladen ist:
$\begin{array}{l} U_{C} (t_{h}) = \frac{U_{C 0}}{2} = U_{C 0} \cdot e^{- \frac{t_{h}}{R C}}, a l s o \frac{1}{2} = e^{- \frac{t_{h}}{R C}} \\ u n d d a m i t - \ln 2 = - \frac{t_{h}}{R C} o d e r \\ t_{h} = \ln 2 \cdot R \cdot C = 0,693 \cdot 10^{6} \frac{V}{A} \cdot 10^{- 7} \frac{A s}{V} = 6,93 \cdot 10^{- 2} s = 69,3 m s \end{array}$

Die grafische Darstellung erfolgt mit Blick auf die Halbwertszeit im Zeitintervall von 0 bis 0,4 s bzw. von 0 bis 400 ms. Ferner gilt $R \cdot C = 10^{6} \frac{V}{A} \cdot 10^{- 7} \frac{A s}{V} = 10^{- 1} s .$

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Differenzialgleichungen zur Beschreibung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/differenzialgleichungen-zur-beschreibung-des-lade-und (Abgerufen: 09. June 2025, 04:05 UTC)

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Terminologie der Differenzialgleichungen

Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der Ableitungen unbekannter Funktionen auftreten. Handelt es sich bei den Funktionen um Funktionen einer Veränderlichen, so nennt man die Differenzialgleichungen „gewöhnliche Differenzialgleichungen“, bei mehreren Veränderlichen „partielle Differenzialgleichungen“.

Beispiele für gewöhnliche Differenzialgleichungen sind $x y^{'} - y + c x = 0$ oder auch $y^{″} = c y$ .

Die Theorie der Differenzialgleichungen untersucht, ob es eine oder mehrere Funktionen gibt, die (in die Differenzialgleichung eingesetzt) diese für jeden Wert der Variablen erfüllen und wie diese Funktion bzw. diese Funktionen gefunden werden können. Für einige Typen von Differenzialgleichungen lassen sich exakte Verfahren zum Auffinden von Lösungen angeben, sonst müssen Näherungsverfahren oder numerische Verfahren verwendet werden. Für numerische Verfahren werden auf modernen Rechenanlagen leistungsfähige Programme angeboten.

Durch Differenzialgleichungen lassen sich gewisse physikalische Gesetzmäßigkeiten gut darstellen, z.B. Schwingungs- und Strömungsvorgänge.
Im Folgenden werden einige wichtige Begriffe aus der Theorie der gewöhnlichen Differenzialgleichungen erläutert.

Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung

Die einfache lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung $f' (x) + f (x) - x = 0$ lässt sich nicht durch Trennen der Variablen lösen. Wird die Differenzialgleichung nämlich in die Form $f' (x) = x - y$ gebracht, so erkennt man, dass sich die rechte Seite nicht als Produkt $g (x) \cdot h (y)$ schreiben lässt, was Voraussetzung für das Trennen der Variablen ist.
Die Lösung der inhomogenen Gleichung kann jedoch ausgehend von der Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung gefunden werden.

Lösen von linearen inhomogenen Differenzialgleichungen 1. Ordnung mittels Variation der Konstanten

Die Gleichung $y^{'} + f (x) y + g (x) = 0$ ist die allgemeine Form einer linearen inhomogenen Differenzialgleichung 1. Ordnung.
Mit Variation der Konstanten wird eine Methode zum Integrieren dieser Gleichung bezeichnet. Die Vorgehensweise besteht darin, zuerst die zugehörige homogene Differenzialgleichung zu lösen, d.h., das Glied g(x) zu vernachlässigen. In diese Lösung geht ein freier Parameter c ein. Dieser wird dann als Funktion von x betrachtet und so bestimmt, dass die so modifizierte Lösung der linearen homogenen Differenzialgleichung der inhomogenen genügt.

Kugel und Feder - Bewegungsgleichung oder Energiesatz

Für die mathematische Beschreibung bzw. Berechnung von Bewegungsvorgängen gibt es oftmals verschiedene Vorgehensweisen. Die Berechnung kann mithilfe des newtonschen Grundgesetzes oder auch mithilfe des Energieerhaltungssatzes erfolgen. Ein Beispiel soll diese beiden Möglichkeiten demonstrieren.

Pierre-François Verhulst

* 28. Oktober 1804 Brüssel
† 15. Februar 1849 Brüssel

PIERRE-FRANÇOIS VERHULST gilt als Vorläufer der modernen Bevölkerungsstatistik.
Insbesondere entdeckte er die dem Bevölkerungswachstum zugrunde liegende Gleichung des sogenannten logistischen Wachstums (logistische Gleichung).

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