Differenzialgleichungen zur Beschreibung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators

In einem Gleichstromkreis befindet sich eine Spannungsquelle mit der Spannung $U_{0}$ ein ohmscher Widerstand R und ein Kondensator mit der Kapazität C.
Wird Spannung angelegt, so fließt über den Widerstand R ein Strom I zum Kondensator und lädt ihn auf. Dabei wächst die Kondensatorspannung $U_{C} = \frac{Q}{C} .$

Beim Stromfluss fällt am Widerstand die Spannung $U_{R} = I \cdot R$ ab. Die Summe aus Spannungsabfall am ohmschen Widerstand und Kondensatorspannung ist immer gleich der Spannung der Spannungsquelle.

Es gilt also $U_{0} = U_{R} + U_{C} = I R + \frac{Q}{C},$ woraus mit $I = \frac{d Q}{d t}$ folgt:
$U_{0} = R \frac{d Q}{d t} + \frac{Q}{C} b z w . \frac{d Q}{d t} + \frac{Q}{R C} = \frac{U_{0}}{R}$

Diese Gleichung ist eine lineare inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung der Form $f' (x) + q f (x) = s$ mit den Koeffizienten $q = \frac{1}{R C} u n d s = \frac{U_{0}}{R}$ sowie der gesuchten Funktion $Q = Q (t)$ , die im Folgenden zu lösen ist.

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Aus der allgemeinen Lösung
$y = f (x) = {\begin{matrix} c + s x, & w e n n q = 0 \\ c \cdot e^{- q x} + \frac{s}{q}, & w e n n q \neq 0 \end{matrix} m i t c k o n s \tan t$
erhält man als Lösung der Gleichung:
$Q (t) = c \cdot e^{- \frac{t}{R C}} + U_{0} C$

Nun werden die Anfangswertprobleme für den Lade- und Entladevorgang des Kondensators gelöst. Beim Laden liefert die Spannungsquelle die Spannung $U_{0};$ zu Beginn des Ladevorgangs befindet sich noch keine Ladung auf dem Kondensator. Beim Entladen liegt keine äußere Spannung an, der Kondensator verfügt bei $t = 0$ über eine Spannung $U_{C 0} = U_{C} (0)$ und trägt demzufolge die Ladung $Q_{0} = U_{C 0} \cdot C .$

	Ladevorgang	Entladevorgang
Bedingungen	$U_{0} \neq 0, Q (0) = 0$	$\begin{array}{l} U_{0} = 0, \\ Q (0) = Q_{0} = U_{C 0} \cdot C \end{array}$
Gleichung lösen	$\begin{array}{l} Q (t) = c \cdot e^{- \frac{1}{R C}} + U_{0} C \\ Q (0) = 0 = c + U_{0} C \\ c = - U_{0} C \end{array}$	$\begin{array}{l} Q (t) = c \cdot e^{- \frac{1}{R C}} \\ Q (0) = U_{C 0} C = c \\ c = U_{C 0} \cdot C \end{array}$
partikuläre Lösung für Q	$\begin{array}{l} Q (t) = - U_{0} C \cdot e^{- \frac{1}{R C}} + U_{0} C \\ Q (t) = U_{0} C (1 - e^{- \frac{1}{R C}}) \end{array}$	$Q (t) = U_{C 0} \cdot C \cdot e^{- \frac{1}{R C}}$
Spannung am Kondensator $U_{C} = \frac{Q}{C}$	$U_{C} (t) = U_{0} (1 - e^{- \frac{1}{R C}})$	$U_{C} (t) = U_{C 0} \cdot e^{- \frac{1}{R C}}$
Spannung am Kondensator mit	$U_{C} (t) = 40 V (1 - e^{- 10 s^{- 1} \cdot t})$	$U_{C} (t) = 40 V \cdot e^{- 10 s^{- 1} \cdot t}$

Wir betrachten nun den folgenden Spannungsverlauf für einen Lade- und einen Entladevorgang. Die Kapazität des Kondensators beträgt $C = 100 n F .$ Die Spannungsquelle hat beim Einschalten eine Spannung von 40 V, die gleiche Spannung hat auch der Kondensator beim Abschalten. Der ohmsche Widerstand beträgt $1000 k Ω$ .

Um eine geeignete Einteilung der Zeitachse zu ermöglichen, wird zuerst diejenige Zeit $t_{h}$ ermittelt, die verstreicht, bis der Kondensator mit einer Spannung von 40 V zur Hälfte entladen ist:
$\begin{array}{l} U_{C} (t_{h}) = \frac{U_{C 0}}{2} = U_{C 0} \cdot e^{- \frac{t_{h}}{R C}}, a l s o \frac{1}{2} = e^{- \frac{t_{h}}{R C}} \\ u n d d a m i t - \ln 2 = - \frac{t_{h}}{R C} o d e r \\ t_{h} = \ln 2 \cdot R \cdot C = 0,693 \cdot 10^{6} \frac{V}{A} \cdot 10^{- 7} \frac{A s}{V} = 6,93 \cdot 10^{- 2} s = 69,3 m s \end{array}$

Die grafische Darstellung erfolgt mit Blick auf die Halbwertszeit im Zeitintervall von 0 bis 0,4 s bzw. von 0 bis 400 ms. Ferner gilt $R \cdot C = 10^{6} \frac{V}{A} \cdot 10^{- 7} \frac{A s}{V} = 10^{- 1} s .$

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Differenzialgleichungen zur Beschreibung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/differenzialgleichungen-zur-beschreibung-des-lade-und (Abgerufen: 20. May 2025, 05:46 UTC)

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Differenzen- und Differenzialgleichungen sind von anderer Natur, denn sie besitzen als Lösungen Folgen bzw. Funktionen. Dennoch sind sie uns nicht ganz unbekannt. So kann beispielsweise eine geometrische Folge explizit durch $a_{i} = s \cdot q^{i}, i \in ℕ, q, s \in ℝ$ beschrieben werden, aber auch durch die rekursive Bildungsvorschrift $a_{0} = s u n d a_{i + 1} = q \cdot a_{i}, i \in ℕ .$

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