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Darstellung geometrischer Objekte durch Differenzialgleichungen

Die Lösungen (Integrale) von Differenzialgleichungen sind Kurvenscharen. Entsprechend lassen sich Klassen von Kurven, die sich nur durch konstante Parameter unterscheiden, durch Differenzialgleichungen darstellen. Im Folgenden werden Differenzialgleichungen für geometrische Grundgebilde wie Gerade, Kreis, Parabel, Ellipse und Hyperbel angegeben.

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Parabeln

Die Gleichung y = a x 2 + b x + c ,   a ≠ 0, charakterisiert die Menge aller Parabeln, deren Achse parallel zur y-Achse ist. Die Integrale der drei Differenzialgleichungen
y ′       = 2 a x + b x = a ∗ x + b ,   a ∗ ≠ 0, y ″ = a ∗ ,   a ∗ ≠ 0   u n d   y ″ ′ = 0
umfassen diese Parabeln.
(Darüber hinaus erfüllt aber auch die Funktionsgleichung y = 0 die Differenzialgleichung y ″ ′ = 0. )

Geraden

y ′ = y x wird durch die Funktionen y = c   x ,   x ≠ 0 erfüllt.

Kreise

Aus der Gleichung des Kreises in Mittelpunktslage x 2 + y 2 = r 2 folgt:
2 x + 2 y   y ′ = 0,   a l s o   y ′ = − x y
x + y ′ 2 + y   y ′ ′ = 0
Man überzeuge sich durch Einsetzen der Kreisgleichung.

Aus der Gleichung des Kreises in beliebiger Lage
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2   f o lg t   y ′ = − x − a y − b .

Ellipsen

Ellipsen in Mittelpunktslage haben die Gleichung x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1.
Ihre Differenziation ergibt x a 2 + y   y ′ b 2 = 0, also b 2 x + a 2 y   y ′ = 0   b z w .   y ′ = − b 2 a 2 x y

Hyperbeln

Die Hyperbelgleichung y = 1 x   e r g i b t   y ′ = − 1 x 2 = − y x .

Aus den Hyperbelgleichungen x 2 − y 2 = c erhält man durch Differenziation
x − y   y ′ = 0.

Beispiel

Die Exponentialfunktion y = a   e x erfüllt die Differenzialgleichungen
y ′ = y ,   y ′ ′ = y ,   y ′ ′ ′ = y ′ ′ usw.
y ′ = y führt nach Trennung der Variablen auf
∫ d y y = ∫ d x ,   ln | y | = x + c ,   y = e c e x = a   e x .
y ′ ′ = y ist eine lineare homogene Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten.
Der Ansatz y = e λ   x   l i e f e r t   ( λ 2 − 1 ) e λ   x = 0 mit den Wurzeln λ 1   ,   2 = ± 1
und die Darstellung der Kurvenschar y ( x ) = c 1   e x + c 2   e − x .
Es ist zu empfehlen, auch y ″ ′ = y zu untersuchen.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Darstellung geometrischer Objekte durch Differenzialgleichungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/darstellung-geometrischer-objekte-durch (Abgerufen: 20. May 2025, 13:42 UTC)

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