21 Suchergebnisse

Ein Ellipsoid ist ein Rotationskörper, der durch die Rotation einer Ellipse um eine ihrer Hauptsachsen entsteht.

Während bei einer Kugel alle drei räumlichen Ausdehnungen gleich sind, sind diese bei einem Ellipsoid verschieden.

Reguläre Kegelschnitte entstehen, wenn die Mantelfläche eines geraden Kreiskegels (Doppelkegel) von einer Ebene geschnitten wird, die nicht durch die Spitze S des Kreiskegels geht. Je nach der Lage der Schnittebene unterscheidet man verschiedene Kegelschnittkurven: Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln, Kreise.

Kreiszylinder und Prismen können sowohl liegend als auch stehend im Schrägbild bzw. im Zweitafelbild dargestellt werden.
In Kavalierprojektion wird das Schrägbild sehr anschaulich dargestellt.

Bei einer senkrechten Zweitafelprojektion erfolgt die Darstellung gleichzeitig in zwei Ebenen.

APOLLONIOS VON PERGE (um 262 bis 190 v. Chr.), griechisch-hellenistischer Mathematiker und Astronom
* um 262 v. Chr. Perge (Pamphylien, heutige Türkei);
† um 190 v. Chr.

APOLLONIOS VON PERGE, auch „der große Geometer“ genannt, war ein Schüler EUKLIDs. Er beschäftigte sich sowohl mit arithmetischen Berechnungen als auch mit der Statistik. Besonders zu erwähnen ist sein Hauptwerk „Conica“, in dem er die Ergebnisse der antiken Kegelschnittlehre zusammenfasste.
APOLLONIOS lieferte auch wichtige Beiträge zur Astronomie. Speziell wandte er geometrische Modelle auf die Planentenbewegung an.

Im Allgemeinen werden (nur) Kegelschnitte in sogenannter achsenparalleler Lage betrachtet. Dann lassen sich relativ einfache Mittelpunktsgleichungen für Kreis, Ellipse und Hyperbel sowie eine allgemeine Scheitelgleichung für alle Kegelschnitte angegeben.

Zur Darstellung von Kegelschnitten in Polarkoordinaten werden die folgenden Umrechnungsformeln (von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten) benutzt:
$\begin{array}{c}x=r\cdot \cos \varphi \\ y=r\cdot \sin \varphi \end{array}(\ast )$

Durch Einsetzen in die Mittelpunkts- oder Scheitelgleichungen des entsprechenden Kegelschnittes und anschließendes Umformen ergeben sich die gewünschten Darstellungen.

* 27. Dezember 1571 Weil der Stadt
† 15. November 1630 Regensburg

JOHANNES KEPLER war einer der bedeutendsten Astronomen der frühen Neuzeit und entdeckte die nach ihm benannten Gesetze der Planetenbewegung. Damit gehört er neben NIKOLAUS KOPERNIKUS, GALILEO GALILEI und ISAAC NEWTON zu den Wegbereitern eines neuen wissenschaftlichen Weltbildes, mit dem religiöse Auffassungen überwunden und naturwissenschaftliche Erkenntnisse Grundlage der Vorstellungen wurden.
KEPLER entwickelte aus der Antike stammende Methoden zur Volumenberechnung weiter, so geht u.a. eine Näherungsformel für das Volumen von Rotationskörpern (die sogenannte keplersche Fassregel) auf ihn zurück.

Die Lösungen (Integrale) von Differenzialgleichungen sind Kurvenscharen. Entsprechend lassen sich Klassen von Kurven, die sich nur durch konstante Parameter unterscheiden, durch Differenzialgleichungen darstellen. Im Folgenden werden Differenzialgleichungen für geometrische Grundgebilde wie Gerade, Kreis, Parabel, Ellipse und Hyperbel angegeben.

Kegelschnitte können auch in Polarkoordinatendarstellung angegeben werde.
Die Darstellung mithilfe von Polarkoordinaten wird auch benutzt für Spiralen, Schraubenlinien und cassinische Kurven.

* etwa 262 v.Chr. Perge (Pamphylien, heutige Türkei);
† etwa 190 v.Chr.

APOLLONIOS VON PERGE, auch „der große Geometer“ genannt, war ein Schüler EUKLIDS. Er beschäftigte sich sowohl mit arithmetischen Berechnungen als auch mit der Statistik. Besonders zu erwähnen ist sein Hauptwerk „Conica“, in dem er die Ergebnisse der antiken Kegelschnittslehre zusammenfasste.
APOLLONIOS lieferte auch wichtige Beiträge zur Astronomie. Speziell wandte er geometrische Modelle auf die Planentenbewegung an.

Als Kegelschnitte bezeichnet man Kurven, die beim Schnitt eines geraden Doppelkreiskegels (Rotationskegels) mit einer Ebene $\epsilon$ entstehen.