Definition der Kegelschnitte

Schnitt eines Rotationskegels mit einer Ebene (Ellipse als Schnittfigur)

Schnitt eines Rotationskegels mit einer Ebene (Ellipse als Schnittfigur)

In Abhängigkeit vom Neigungswinkel α der Schnittebene in Bezug auf den halben Öffnungswinkel ϕ des Kegels ergeben sich die folgenden (regulären) Kegelschnitte:

  • Ellipse ( ϕ < α 90 ° )
    Spezialfall: Kreis ( α = 90 ° )
  • Parabel ( α = ϕ )
  • Hyperbel ( 0 ° α < ϕ )

Anmerkung: Verläuft die Schnittebene durch die Spitze S des Doppelkegels, entstehen entartete Kegelschnitte (Geradenpaar bzw. Punkt).

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Die folgende Abbildung zeigt nochmals das Entstehen der Kegelschnitte Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel (wobei hier nicht auf den halben Öffnungswinkel ϕ , sondern auf den Neigungswinkel der Mantellinie gegenüber der Grundfläche Bezug genommen wird).

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Definition der Kegelschnitte als geometrischer Ort und ihre Fadenkonstruktionen

  • Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt, dem Mittelpunkt M, den gleichen Abstand (Radius r) besitzen.

Fadenkonstruktion: Ein Faden der Länge r wird am Mittelpunkt M festgehalten. Ein Schreibstift am gespannten Faden beschreibt dann einen Kreisbogen.

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  • Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten, den Brennpunkten F 1 u n d F 2 , konstant ist.

Fadenkonstruktion: Ein Faden der Länge 2 a > 2 e (2e Abstand der Brennpunkte) wird in F 1 u n d F 2 befestigt. Ein Schreibstift am gespannten Faden beschreibt dann die Ellipse (Gärtnerkonstruktion).

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  • Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, deren Abstände von einem festen Punkt (dem Brennpunkt F) und einer Geraden (der Leitlinie l) konstant sind.

Fadenkonstruktion: Ein Faden wird im Brennpunkt F und am Ende eines Schenkels eines rechtwinkligen Dreiecks befestigt. Der andere Schenkel liegt auf der Leitlinie. Der Schreibstift wird mit gespannten Faden entlang des Schenkels geführt und beschreibt die Parabel.

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  • Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, für die die Differenz der Abstände von zwei festen Punkten, den Brennpunkten F 1 u n d F 2 konstant ist.

Fadenkonstruktion: Ein Stab der Länge l wird am Brennpunkt F 1 drehbar befestigt. Ein Faden der Länge f = l 2 a wird am anderen Ende des Stabes und in F 2 befestigt. Der Schreibstift wird mit dem gespannten Faden am Stab entlang geführt und beschreibt dabei einen Hyperbelast.

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Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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