Entartete Kegelschnitte

Die Definition der Kegelschnitte lässt neben den regulären Formen (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) noch die sogenannten entarteten Kegelschnitte zu.

Bild

Geht die Schnittebene $ε$ , die den doppelten Kreiskegel (Rotationskegel) schneidet, durch die Spitze S des Kegels, dann entstehen die folgenden Schnittfiguren:

Punkt
(falls Schnittebene parallel zur Grundebene)
zwei einander schneidende Geraden
(falls Schnittebene senkrecht zur Grundebene)
eine Gerade (Doppelgerade)
(falls Schnittebene auf der Mantelfäche liegt)

Eine analytische Charakterisierung der entarteten Kegelschnitte kann an der allgemeinen Kegelschnittgleichung vorgenommen werden.

Unter der Voraussetzung, dass die Kegelschnittachsen parallel zu den Koordinatenachsen liegen, hat diese die folgende Form:
$A x^{2} + C y^{2} + 2 D x + 2 E y + F = 0$

Des Weiteren sei
$N = \frac{D}{A^{2}} + \frac{E}{C^{2}} - F .$

Bezogen auf diese Voraussetzungen gibt die folgende Tabelle einen Überblick über mögliche entartete Kegelschnitte.

Bedingungen		Kegelschnitt
$A C > 0$	$N = 0$	Punkt
$A C < 0$	$N = 0$	ein Paar einander schneidender Geraden
$A C = 0$ mit $A = 0$ und $C \neq 0$	$D = 0$	ein Paar zur x-Achse paralleler Geraden, die zusammenfallen, wenn $E^{2} - F C = 0$ gilt
$A C = 0$ mit $A \neq 0$ und $C = 0$	$D = 0$	ein Paar zur y-Achse paralleler Geraden, die zusammenfallen, wenn $D^{2} - A F = 0$ gilt
$A C = 0$ mit $A = 0$ und $C = 0$	$D \neq 0$ und $E \neq 0$	eine Gerade

Der Fall $A = C = D = E = 0$ ist trivial.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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