Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 11 Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes
  4. 11.6 Kegelschnitte
  5. 11.6.1 Schnittfiguren eines Kegels
  6. Entartete Kegelschnitte

Entartete Kegelschnitte

Die Definition der Kegelschnitte lässt neben den regulären Formen (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) noch die sogenannten entarteten Kegelschnitte zu.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Bild

Geht die Schnittebene ε , die den doppelten Kreiskegel (Rotationskegel) schneidet, durch die Spitze S des Kegels, dann entstehen die folgenden Schnittfiguren:

  1. Punkt
    (falls Schnittebene parallel zur Grundebene)
  2. zwei einander schneidende Geraden
    (falls Schnittebene senkrecht zur Grundebene)
  3. eine Gerade (Doppelgerade)
    (falls Schnittebene auf der Mantelfäche liegt)

Eine analytische Charakterisierung der entarteten Kegelschnitte kann an der allgemeinen Kegelschnittgleichung vorgenommen werden.

Unter der Voraussetzung, dass die Kegelschnittachsen parallel zu den Koordinatenachsen liegen, hat diese die folgende Form:
  A x 2 + C y 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0

Des Weiteren sei
N = D A 2 + E C 2 − F .

Bezogen auf diese Voraussetzungen gibt die folgende Tabelle einen Überblick über mögliche entartete Kegelschnitte.

BedingungenKegelschnitt
A C > 0 N = 0 Punkt
A C < 0 N = 0 ein Paar einander schneidender Geraden
A C = 0 mit A = 0 und C ≠ 0 D = 0 ein Paar zur x-Achse paralleler Geraden, die zusammenfallen, wenn E 2 − F C = 0 gilt
A C = 0 mit A ≠ 0 und C = 0 D = 0 ein Paar zur y-Achse paralleler Geraden, die zusammenfallen, wenn D 2 − A F = 0 gilt
A C = 0 mit A = 0 und C = 0 D ≠ 0 und E ≠ 0 eine Gerade

Der Fall A = C = D = E = 0 ist trivial.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Entartete Kegelschnitte." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/entartete-kegelschnitte (Abgerufen: 20. May 2025, 11:38 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Rotationskegel
  • Doppelkegel
  • Allgemeine Kegelschnittgleichung
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Germinal Pierre Dandelin

* 12. April 1794 Le Bourget
† 15. Februar 1847 Brüssel

Der belgische Mathematiker französischer Herkunft ist vor allem dadurch bekannt, dass er zur Herleitung der Eigenschaften von Kegelschnitten als erster (später nach ihm benannte) Kugeln benutzte, die jeweils Kegel und Schnittebene berühren.

Asymptoten der Hyperbel

Als einziger Kegelschnitt besitzt die Hyperbel ein Paar Asymptoten. Deren Gleichungen lassen sich wie im Folgenden skizziert bestimmen.

Definition der Kegelschnitte

Als Kegelschnitte bezeichnet man Kurven, die beim Schnitt eines geraden Doppelkreiskegels (Rotationskegels) mit einer Ebene ε entstehen.

Kegelschnitte in Polarkoordinatendarstellung

Zur Darstellung von Kegelschnitten in Polarkoordinaten werden die folgenden Umrechnungsformeln (von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten) benutzt:
  x = r ⋅ cos ϕ y = r ⋅ sin ϕ   ( ∗ )

Durch Einsetzen in die Mittelpunkts- oder Scheitelgleichungen des entsprechenden Kegelschnittes und anschließendes Umformen ergeben sich die gewünschten Darstellungen.

Gleichungen der Kegelschnitte

Im Allgemeinen werden (nur) Kegelschnitte in sogenannter achsenparalleler Lage betrachtet. Dann lassen sich relativ einfache Mittelpunktsgleichungen für Kreis, Ellipse und Hyperbel sowie eine allgemeine Scheitelgleichung für alle Kegelschnitte angegeben.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025