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Asymptoten der Hyperbel

Als einziger Kegelschnitt besitzt die Hyperbel ein Paar Asymptoten. Deren Gleichungen lassen sich wie im Folgenden skizziert bestimmen.

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Gegeben sei eine Hyperbel in Mittelpunktslage, d.h. eine Hyperbel mit folgender Gleichung:
  x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1

Auflösen dieser Gleichung nach y ergibt:
  y = ± b a x 1 − a 2 x 2

Für x → ±   ∞ strebt der Ausdruck a 2 x 2 gegen null und damit ergeben sich als Gleichungen der Asymptoten:
  y = ± b a x

  • Beispiel 1: Es sind die Asymptoten der Hyperbel mit der Gleichung
    x 2 4 − y 2 9 = 1 zu bestimmen.

    Wegen a = 3       u n d       b = 2 erhält man die in der folgenden Abbildung angegebenen Asymptoten.
  • Asymptoten einer Hyperbel (Beispiel 1)

Analog lassen sich die Gleichungen der Asymptoten für eine Hyperbel in allgemeiner (achsenparalleler) Lage, d.h. eine Hyperbel mit der Gleichung
( x − c ) 2 a 2 − ( y − d ) 2 b 2 = 1 , bestimmen.

Für den Anstieg der Asymptoten gilt auch hier m = ±   b a , und sie gehen durch den Punkt M(c; d).

  • Beispiel 2: Es sind die Asymptoten der Hyperbel mit der Gleichung
    ( x − 2 ) 2 16 − ( y + 3 ) 2 8 = 1 zu bestimmen.

    Für den Anstieg gilt m = ± 4 8 = ± 4 2 2 = ± 2 2 = ± 2 .
    Einsetzen in die Punktrichtungsgleichung ergibt y + 3 = ± 2 ( x − 2 ) .

    Somit lauten die Gleichungen der Asymptoten in expliziter Form:
      y = f 1 ( x ) = 2 x − ( 2 2 + 3 ) y = f 2 ( x ) = −   2 x + ( 2 2 − 3 ) = −   2 x − ( 3 − 2 2 )
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Asymptoten der Hyperbel." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/asymptoten-der-hyperbel (Abgerufen: 20. May 2025, 18:08 UTC)

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