Asymptoten der Hyperbel

Gegeben sei eine Hyperbel in Mittelpunktslage, d.h. eine Hyperbel mit folgender Gleichung:
x 2 a 2 y 2 b 2 = 1

Auflösen dieser Gleichung nach y ergibt:
y = ± b a x 1 a 2 x 2

Für x ± strebt der Ausdruck a 2 x 2 gegen null und damit ergeben sich als Gleichungen der Asymptoten:
y = ± b a x

  • Beispiel 1: Es sind die Asymptoten der Hyperbel mit der Gleichung
    x 2 4 y 2 9 = 1 zu bestimmen.

    Wegen a = 3 u n d b = 2 erhält man die in der folgenden Abbildung angegebenen Asymptoten.
Asymptoten einer Hyperbel (Beispiel 1)

Asymptoten einer Hyperbel (Beispiel 1)

Analog lassen sich die Gleichungen der Asymptoten für eine Hyperbel in allgemeiner (achsenparalleler) Lage, d.h. eine Hyperbel mit der Gleichung
( x c ) 2 a 2 ( y d ) 2 b 2 = 1 , bestimmen.

Für den Anstieg der Asymptoten gilt auch hier m = ± b a , und sie gehen durch den Punkt M(c; d).

  • Beispiel 2: Es sind die Asymptoten der Hyperbel mit der Gleichung
    ( x 2 ) 2 16 ( y + 3 ) 2 8 = 1 zu bestimmen.

    Für den Anstieg gilt m = ± 4 8 = ± 4 2 2 = ± 2 2 = ± 2 .
    Einsetzen in die Punktrichtungsgleichung ergibt y + 3 = ± 2 ( x 2 ) .

    Somit lauten die Gleichungen der Asymptoten in expliziter Form:
    y = f 1 ( x ) = 2 x ( 2 2 + 3 ) y = f 2 ( x ) = 2 x + ( 2 2 3 ) = 2 x ( 3 2 2 )

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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