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Kurven in Polarkoordinatendarstellung

Kegelschnitte können auch in Polarkoordinatendarstellung angegeben werde.
Die Darstellung mithilfe von Polarkoordinaten wird auch benutzt für Spiralen, Schraubenlinien und cassinische Kurven.

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Kegelschnitte

Zur Darstellung von Kegelschnitten in Polarkoordinaten werden die Formeln für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten x = r cos ϕ und y = r sin ϕ in die Scheitel- bzw. Mittelpunktsgleichungen eingesetzt und diese umgeformt.

Als Beispiel dafür betrachten wir im Folgenden die Parabel mit dem Brennpunkt im Koordinatenursprung mit der folgenden Scheitelgleichung:
  y 2 = 2 p ( x + p 2 )       S ( − p 2 ;     0 )

Einsetzen der oben angegebenen Formeln für die Umrechung ergibt:
  ( r sin ϕ ) 2 = 2 p ( r cos ϕ + p 2 )

Daraus folgt für 0   ° ≤ ϕ < 360   ° die Polargleichung einer Parabel:
  r = p 1 − cos ϕ

Auch hier gilt die Verallgemeinerung für alle Kegelschnitte, und es ist:
  r = p 1 − ε cos ϕ

Für ε = 0 handelt es sich um einen Kreis, für 0 < ε < 1 um eine Ellipse, für ε = 1 um eine Parabel und für 1 < ε um eine Hyperbel.

Spiralen

  1. Archimedische Spirale

Ein Strahl O P ¯ dreht sich mit konstanter Geschwindigkeit um P und bewegt sich gleichzeitig gleichförmig von O weg (z.B. die Laufkatze eines Drehkranes). Die Länge des Strahles O P ¯ ändert sich proportional mit dem Drehwinkel.

Die Gleichung für die archimedische Spirale in Polarkoordinaten lautet:
  r = a   ϕ

Parameterdarstellung:
  x = a ϕ cos ϕ y = a ϕ sin ϕ       ( a > 0 ;       ϕ ≥ 0 )     

Die folgende Abbildung zeigen die Kurve für a = 1 und 0 ≤ ϕ < 6 π .

  • Archimedische Spirale
  1. Hyperbolische Spirale

Bei dieser Spirale ist die Länge des Strahles O P ¯ umgekehrt proportional zum Drehwinkel. Die Gleichung für die hyperbolische Spirale in Polarkoordinaten lautet:
  r = a ϕ

Wegen lim ϕ   →   ∞ r = 0 nähert sich die Spirale asymptotisch dem Ursprung.
Parameterdarstellung:
  x = 1 a ϕ cos ϕ y = 1 a ϕ sin ϕ       ( a > 0 ;       ϕ > 0 )

In der folgenden Abbildung ist die hyperbolische Spirale für a = 6 und 0,5 < ϕ ≤ 6 π dargestellt.

  • Hyperbolische Spirale
  1. Logarithmische Spirale

Die logarithmische Spirale wird durch die Polargleichung r = e a ϕ beschrieben.
Für ϕ → −   ∞ nähert sich die Spirale beliebig dem Ursprung und für ϕ → ∞ geht auch r → ∞ .

Parameterdarstellung:
  x = e a ϕ cos ϕ y = e a ϕ sin ϕ       ( ϕ ∈ ℝ )

In der folgenden Abbildung ist die Kurve für a = 1 4 und −   2 π ≤ ϕ < 10 dargestellt.

  • Logarithmische Spirale

Schraubenkurve

Auf der Oberfläche eines rotierenden geraden Kreiszylinders bewegt sich ein Punkt mit konstanter Geschwindigkeit in z-Richtung:
  λ = arctan c ϕ r ρ = O P ¯ = r 2 + c 2 ϕ 2

Bild

Cassinische Kurven

Cassinische Kurven (benannt nach GIOVANNI DOMENICO CASSINI, 1625 bis 1712) sind definiert als der geometrische Ort aller Punkte P, für die das Produkt der Abstände der Brennpunkte F 1       u n d       F 2 vom Mittelpunkt M einen konstanten Wert a 2 besitzt. Der Abstand von F 1       u n d       F 2 sei 2c. Das Verhältnis von a und c ist für die Gestalt der Kurve von Bedeutung.

Die Polarkoordinatendarstellung für cassinische Kurven lautet:
r = c 2 cos 2 ϕ ± c 4 cos 2 2 ϕ + a 4 c 4

Die folgende Abbildung zeigt die Kurve für a = 1       u n d       c = 3 .

  • Cassinische Kurve

Für die Lemniskate als Spezialfall der cassinischen Kurven erhält man für a 2 = c 2 die Gleichung r = a 2 cos 2 ϕ .

In der folgenden Abbildung ist die Kurve für a = 3 dargestellt.

  • Lemniskate
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Kurven in Polarkoordinatendarstellung." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/kurven-polarkoordinatendarstellung (Abgerufen: 20. May 2025, 03:11 UTC)

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Gleichungen der Kegelschnitte

Im Allgemeinen werden (nur) Kegelschnitte in sogenannter achsenparalleler Lage betrachtet. Dann lassen sich relativ einfache Mittelpunktsgleichungen für Kreis, Ellipse und Hyperbel sowie eine allgemeine Scheitelgleichung für alle Kegelschnitte angegeben.

Kegelschnitte in Polarkoordinatendarstellung

Zur Darstellung von Kegelschnitten in Polarkoordinaten werden die folgenden Umrechnungsformeln (von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten) benutzt:
  x = r ⋅ cos ϕ y = r ⋅ sin ϕ   ( ∗ )

Durch Einsetzen in die Mittelpunkts- oder Scheitelgleichungen des entsprechenden Kegelschnittes und anschließendes Umformen ergeben sich die gewünschten Darstellungen.

Germinal Pierre Dandelin

* 12. April 1794 Le Bourget
† 15. Februar 1847 Brüssel

Der belgische Mathematiker französischer Herkunft ist vor allem dadurch bekannt, dass er zur Herleitung der Eigenschaften von Kegelschnitten als erster (später nach ihm benannte) Kugeln benutzte, die jeweils Kegel und Schnittebene berühren.

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