Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 11 Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes
  4. 11.6 Kegelschnitte
  5. 11.6.4 Parabel
  6. Kegelschnitte in Polarkoordinatendarstellung

Kegelschnitte in Polarkoordinatendarstellung

Zur Darstellung von Kegelschnitten in Polarkoordinaten werden die folgenden Umrechnungsformeln (von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten) benutzt:
  x = r ⋅ cos ϕ y = r ⋅ sin ϕ   ( ∗ )

Durch Einsetzen in die Mittelpunkts- oder Scheitelgleichungen des entsprechenden Kegelschnittes und anschließendes Umformen ergeben sich die gewünschten Darstellungen.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Im Folgenden wird das Vorgehen für die Parabel mit Brennpunkt im Koordinatenursprung demonstriert.

Die Gleichung (in kartesischen Koordinaten) dieser Parabel lautet wegen
S ( − p 2 ;   0 ) :   y 2 = 2 p ( x + p 2 )

Einsetzen von ( ∗ ) ergibt:
  ( r ⋅ sin ϕ ) 2 = 2 p ( r ⋅ cos ϕ + p 2 )

Nach Umformen erhält man hieraus als Polargleichung der Parabel:
  r = p 1 − cos ϕ     ( 0   ° ≤ ϕ < 360   ° )

Auch hier gilt eine Verallgemeinerung für alle Kegelschnitte.

  • Die entsprechende allgemeine Polargleichung der Kegelschnitte hat folgende Form:
        r = p 1 − ε ⋅ cos ϕ     ( 0   ° ≤ ϕ < 360   ° )

    Es ergibt sich
    1. ein Kreis für ε = 0 ;
    2. eine Ellipse für 0 < ε < 1 ;
    3. eine Parabel für ε = 1 ;
    4. eine Hyperbel für ε > 1 .

Beispiel: Für p = 3       u n d       ε = 0 ;     ε = 0,5 ;       ε = 1   ;       ε = 1,5 entsteht zum Beispiel die in der folgenden Abbildung dargestellte Kurvenschar von Kegelschnitten.

  • Kurvenschar von Kegelschnitten
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Kegelschnitte in Polarkoordinatendarstellung." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/kegelschnitte-polarkoordinatendarstellung (Abgerufen: 23. May 2025, 12:40 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Kreis
  • Kegelschnitte
  • Polarkoordinaten
  • Parabel
  • kartesische Koordinaten
  • Kurvenschar
  • Ellipse
  • Polargleichung
  • Hyperbel
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Germinal Pierre Dandelin

* 12. April 1794 Le Bourget
† 15. Februar 1847 Brüssel

Der belgische Mathematiker französischer Herkunft ist vor allem dadurch bekannt, dass er zur Herleitung der Eigenschaften von Kegelschnitten als erster (später nach ihm benannte) Kugeln benutzte, die jeweils Kegel und Schnittebene berühren.

Asymptoten der Hyperbel

Als einziger Kegelschnitt besitzt die Hyperbel ein Paar Asymptoten. Deren Gleichungen lassen sich wie im Folgenden skizziert bestimmen.

Definition der Kegelschnitte

Als Kegelschnitte bezeichnet man Kurven, die beim Schnitt eines geraden Doppelkreiskegels (Rotationskegels) mit einer Ebene ε entstehen.

Entartete Kegelschnitte

Die Definition der Kegelschnitte lässt neben den regulären Formen (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) noch die sogenannten entarteten Kegelschnitte zu.

Gleichungen der Kegelschnitte

Im Allgemeinen werden (nur) Kegelschnitte in sogenannter achsenparalleler Lage betrachtet. Dann lassen sich relativ einfache Mittelpunktsgleichungen für Kreis, Ellipse und Hyperbel sowie eine allgemeine Scheitelgleichung für alle Kegelschnitte angegeben.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025