Kegelschnitte in Polarkoordinatendarstellung

Zur Darstellung von Kegelschnitten in Polarkoordinaten werden die folgenden Umrechnungsformeln (von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten) benutzt:
$\begin{matrix} x = r \cdot \cos ϕ \\ y = r \cdot \sin ϕ \end{matrix} (*)$

Durch Einsetzen in die Mittelpunkts- oder Scheitelgleichungen des entsprechenden Kegelschnittes und anschließendes Umformen ergeben sich die gewünschten Darstellungen.

Im Folgenden wird das Vorgehen für die Parabel mit Brennpunkt im Koordinatenursprung demonstriert.

Die Gleichung (in kartesischen Koordinaten) dieser Parabel lautet wegen
$S (- \frac{p}{2}; 0)$ : $y^{2} = 2 p (x + \frac{p}{2})$

Einsetzen von $(*)$ ergibt:
${(r \cdot \sin ϕ)}^{2} = 2 p (r \cdot \cos ϕ + \frac{p}{2})$

Nach Umformen erhält man hieraus als Polargleichung der Parabel:
$r = \frac{p}{1 - \cos ϕ} (0 ° \leq ϕ < 360 °)$

Auch hier gilt eine Verallgemeinerung für alle Kegelschnitte.

Die entsprechende allgemeine Polargleichung der Kegelschnitte hat folgende Form:
r = p 1 − ε ⋅ cos ϕ ( 0 ° ≤ ϕ < 360 ° )

Es ergibt sich
1. ein Kreis für $ε = 0$ ;
2. eine Ellipse für $0 < ε < 1$ ;
3. eine Parabel für $ε = 1$ ;
4. eine Hyperbel für $ε > 1$ .

Beispiel: Für $p = 3 u n d ε = 0; ε = 0,5; ε = 1; ε = 1,5$ entsteht zum Beispiel die in der folgenden Abbildung dargestellte Kurvenschar von Kegelschnitten.

Kurvenschar von Kegelschnitten

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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