Differenzialgleichungen zur Beschreibung der Füllstandssteuerung einer Talsperre

Es soll nun für einen speziellen Fall die Entwicklung des Füllstandes betrachtet werden:

Der aktuelle Füllstand einer Talsperre liege mit dem Volumen $V\left(0\right)=V_0$ noch deutlich unter dem maximalen Volumen $V_{\max }.$ Die Zufuhr Z(t) soll so gewählt werden, dass das Stauvolumen V(t) ständig zunimmt, $V_{\max }$ aber nicht überschreitet. Das wird erreicht, wenn die Wasserzufuhr Z(t) stets proportional zum momentan noch freien Stauraum $V_{\max }-V\left(t\right)$ gehalten wird, wenn also gilt:
$Z\left(t\right)=V\prime \left(t\right)=r\left(V_{\max }-V\left(t\right)\right)mitV\left(0\right)=V_0$

(Man sieht:
$FürV\left(t\right)<<V_{\max }istZ\left(t\right)groß,fürV\left(t\right)=V_{\max }giltZ\left(t\right)=0.$)

Hierbei handelt es sich um eine lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung. Man kann diese auch in der Form $V\prime \left(t\right)+rV\left(t\right)=r{V}_{\max }$ schreiben, was der Differenzialgleichung $f\prime \left(x\right)+qf\left(x\right)=smitq=runds=r{V}_{\max }$ entspricht. Ihre allgemeine Lösung lautet $f\left(x\right)=\frac{s}{q}+k{e}^{-qx},$ hier also $V\left(t\right)=V_{\max }+k{e}^{-rt}.$ Um den Parameter k zu bestimmen, muss die Anfangsbedingung eingesetzt werden:
$V\left(0\right)=V_0=V_{\max }+k{e}^{-r\cdot 0}=V_{\max }+k\Rightarrow k=V_0-V_{\max }bzw.k=-\left(V_{\max }-V_0\right)$

Die Lösung des Anfangswertproblems lautet somit:
$V\left(t\right)=V_{\max }-\left(V_{\max }-V_0\right)e^{-rt}$