Lösen von linearen inhomogenen Differenzialgleichungen 1. Ordnung mittels Variation der Konstanten

Bei der folgenden Lösung der Differenzialgleichung wird die Existenz der Lösung in einem Bereich der xy-Ebene vorausgesetzt.

Zur Berechnung des Integrals von y + f ( x ) y + g ( x ) = 0 löst man zuerst y + f ( x ) y = 0 .

Das ist eine Differenzialgleichung mit getrennten Variablen.

Also folgt y y = f ( x ) und nach Integration y = c e f ( x ) d x .

Für c = c(x) ergibt sich nach Differenziation
y = c ( x ) e f ( x ) d x + c ( x ) [ e f ( x ) d x ( f ( x ) ) ] = c ( x ) e f ( x ) d x c ( x ) f ( x ) e f ( x ) d x .

Einsetzen von y und y in die inhomogene Differenzialgleichung ergibt
c ( x ) e f ( x ) d x c ( x ) f ( x ) e f ( x ) d x + f ( x ) c ( x ) e f ( x ) d x + g ( x ) = 0.

Da sich hier zwei Summanden aufheben, folgt:
c ( x ) e f ( x ) d x + g ( x ) = 0 c ( x ) = g ( x ) e f ( x ) d x c ( x ) = g ( x ) e f ( x ) d x d x

Damit lautet das allgemeine Integral
y = e f ( x ) d x { g ( x ) e f ( x ) d x d x } .

Für das Integral durch den Punkt P ( x 0 ; y 0 ) muss gelten
c ( x 0 ) = y 0 , also c ( x ) = y 0 x 0 x g ( x ) e x 0 x f ( x ) d x d x , .

Daraus ergibt sich die allgemeine Lösung des Anfangswertproblems:
y = ( y 0 x 0 x g ( x ) e x 0 x f ( x ) d x d x ) ( e x 0 x f ( x ) d x ) { x 0 x g ( x ) e x 0 x f ( x ) d x d x }

Beispiel

Das Integral von y + 3 y x x = 0, x 0, soll berechnet werden.
Es ist:
y y + 3 1 x = 0 y y = 3 x ln | y | = 3 ln | x | + ln | c | = ln | c x 3 | , a l s o y = c x 3

Für c = c(x) folgt y = c ( x ) x 3 3 c ( x ) x 4 .

Einsetzen von y und y eingesetzt ergibt nach dem Zusammenfassen
c ( x ) = x 4 c ( x ) = 1 5 x 5 + c 0 , d . h . y = c ( x ) x 5 = 1 5 x 2 + c 0 x 3 .

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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