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Unbeschränktes und logistisches Wachstum (Differenzialgleichungen)

Eine Population bestehe aus N Individuen. Nach einer Zeit Δ t ist eine Änderung Δ N mit Δ N = N ( t + Δ t ) − N ( t ) des Populationsumfangs N zu verzeichnen. Kann die Population ohne Beschränkung wachsen, so ist die Änderung proportional zum Ausgangsumfang – je mehr Individuen vorhanden sind, desto mehr Nachwuchs stellt sich ein. Es gilt also Δ N ∼ N  oder  Δ N = k N (unbeschränktes Wachstum), wobei k als Wachstumsrate (bei unbeschränktem Wachstum) bezeichnet wird.
Ist das Wachstum durch eine Obergrenze G der Individuenzahl beschränkt, so wird sich bei noch kleiner Individuenzahl ein annähernd unbeschränktes Wachstum einstellen, mit wachsender Zahl N wird die Wachstumsrate jedoch kleiner, um schließlich bei N = G den Wert 0 anzunehmen. Eine Beschränkung kommt beispielsweise zustande, wenn die Population in einem isolierten Gebiet lebt, in dem sich höchstens G Individuen ernähren können.

Die modifizierte Wachstumsrate
k b = k ( 1 − N G )
weist das erwartete Verhalten auf.

Als Differenzengleichung ergibt sich
Δ N = k b ⋅ N = k ⋅ ( 1 − N G ) ⋅ N
(logistisches Wachstum).

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Die Gleichung des logistischen Wachstums wurde erstmals von VERHULST und PEARL im Jahre 1838 verwendet.

Da sich in beiden Wachstumsfällen die Änderung Δ N auf einen bestimmten Zeitraum, z.B. Δ t = 1  Jahr , bezieht, spielt die Art des Populationswachstums innerhalb dieses Zeitraums keine Rolle. Es könnte sich - wie bei Bakterien - um ein kontinuierliches Wachstum handeln.
Möglich wäre aber auch, dass ein an einen Lebenszyklus gebundenes diskontinuierliches Populationswachstum - wie bei Schmetterlingen - vorliegt. Im Falle des kontinuierlichen Wachstums kann man von der Differenzengleichung zu einer Differenzialgleichung übergehen.

Lösen der Differenzialgleichung des unbeschränkten Wachstums

Die Gleichung N ′ ( t ) = r N ( t ) ,  r ∈ ℝ , r > 0 ist eine lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung. Ihre allgemeine Lösung erhält man durch Trennen der Variablen:
D i e   G l e i c h u n g   w i r d   i n   d e r   F o r m   d N d t = r   N ( t )   g e s c h r i e b e n . 1.   T r e n n e n   d e r   V a r i a b l e n ‌   :     d N N ( t ) = r   d t   2.   I n t e g r i e r e n ‌   :             ∫ d N N ( t ) = r ∫ d t   u n d   d a m i t                                                I n  N = r   t + c ′ ,   c ′ ∈ ℝ   b e l . 3.   U m s t e l l e n   n a c h   N ( t ) ‌   :               e ln N = N ( t ) = e r ⋅ t + c ′ = e c ′ ⋅ e r ⋅ t = c   e r ⋅ t                                                 m i t   e c ′ = c ,   c ∈ ℝ ,   c > 0
Allgemeine Lösungsfunktion ist also N ( t ) = c e r ⋅ t .
Gilt die Anfangsbedingung N ( 0 ) = N 0 , so erhält man N ( 0 ) = c e 0 = c . Die Lösung des Anfangswertproblems ist daher N ( t ) = N 0 e r ⋅ t .

Lösen der Differenzialgleichung des logistischen Wachstums

Die Differentialgleichung N ′ ( t ) = r ⋅ ( 1 − N ( t ) G ) ⋅ N ( t ) des logistischen Wachstums ist zwar auch von 1. Ordnung, aber nicht linear. Sie wird ebenfalls durch Trennen der Variablen gelöst:

1. Trennen der Variablen:

N ′ ( t ) = d N d t = r ⋅ ( 1 − N ( t ) G ) ⋅ N ( t ) ,  N ( 0 ) = N 0
d N ( 1 − N ( t ) G ) ⋅ N ( t ) = r ⋅ d t

2. Integrieren:
∫ 1 ( 1 − N G ) ⋅ N   d N = ∫ r d t = r t + c

Das Integral auf der linken Seite lässt sich mittels Partialbruchzerlegung bestimmen.
Man erhält:
1 ( 1 − N G ) ⋅ N = 1 G − N + 1 N , also ∫ 1 G − N d N + ∫ 1 N d N = − ln ( G − N ) + ln N = ln N G − N = r ⋅ t + c
(Alle Integrationskonstanten werden auf der rechten Seite zusammengefasst.)

Daraus folgt: e ln N G − N = N G − N = e r t + c = q ⋅ e r t       mit  q = e c
bzw. N = ( G − N ) ⋅ q ⋅ e r t  
und damit N = G ⋅ q ⋅ e r t 1 + q ⋅ e r t ,   q ∈ ℝ ,  q > 0 .

Bestimmen des Parameters q: N 0 = N ( 0 ) = G ⋅ q 4 + q ⇒ q = N 0 G − N 0 ⇒ N ( t ) = G N 0 e r t G − N 0 + N 0 e r t

Für die Werte r = 0,5 a − 1 (a ist die Zeiteinheit 1 Jahr) und G = 100 sind partikuläre Lösungen der Differenzialgleichungen des unbeschränkten ( N 0 = 4 ) und des logistischen Wachstums ( N 0 = 4  und  N 0 = 150 ) in der folgenden Abbildung dargestellt.

  • Grafische Darstellung partikulärer Lösungen von Differenzialgleichungen des unbeschränkten und des logistischen Wachstums
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Unbeschränktes und logistisches Wachstum (Differenzialgleichungen)." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/unbeschraenktes-und-logistisches-wachstum (Abgerufen: 20. May 2025, 17:49 UTC)

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