Unbeschränktes und logistisches Wachstum (Differenzialgleichungen)

Die Gleichung des logistischen Wachstums wurde erstmals von VERHULST und PEARL im Jahre 1838 verwendet.

Da sich in beiden Wachstumsfällen die Änderung Δ N auf einen bestimmten Zeitraum, z.B. Δ t = 1  Jahr , bezieht, spielt die Art des Populationswachstums innerhalb dieses Zeitraums keine Rolle. Es könnte sich - wie bei Bakterien - um ein kontinuierliches Wachstum handeln.
Möglich wäre aber auch, dass ein an einen Lebenszyklus gebundenes diskontinuierliches Populationswachstum - wie bei Schmetterlingen - vorliegt. Im Falle des kontinuierlichen Wachstums kann man von der Differenzengleichung zu einer Differenzialgleichung übergehen.

Lösen der Differenzialgleichung des unbeschränkten Wachstums

Die Gleichung N ( t ) = r N ( t ) ,  r , r > 0 ist eine lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung. Ihre allgemeine Lösung erhält man durch Trennen der Variablen:
D i e G l e i c h u n g w i r d i n d e r F o r m d N d t = r N ( t ) g e s c h r i e b e n . 1. T r e n n e n d e r V a r i a b l e n : d N N ( t ) = r d t 2. I n t e g r i e r e n : d N N ( t ) = r d t u n d d a m i t                                              I n  N = r t + c , c b e l . 3. U m s t e l l e n n a c h N ( t ) : e ln N = N ( t ) = e r t + c = e c e r t = c e r t                                               m i t e c = c , c , c > 0
Allgemeine Lösungsfunktion ist also N ( t ) = c e r t .
Gilt die Anfangsbedingung N ( 0 ) = N 0 , so erhält man N ( 0 ) = c e 0 = c . Die Lösung des Anfangswertproblems ist daher N ( t ) = N 0 e r t .

Lösen der Differenzialgleichung des logistischen Wachstums

Die Differentialgleichung N ( t ) = r ( 1 N ( t ) G ) N ( t ) des logistischen Wachstums ist zwar auch von 1. Ordnung, aber nicht linear. Sie wird ebenfalls durch Trennen der Variablen gelöst:

1. Trennen der Variablen:

N ( t ) = d N d t = r ( 1 N ( t ) G ) N ( t ) ,  N ( 0 ) = N 0
d N ( 1 N ( t ) G ) N ( t ) = r d t

2. Integrieren:
1 ( 1 N G ) N d N = r d t = r t + c

Das Integral auf der linken Seite lässt sich mittels Partialbruchzerlegung bestimmen.
Man erhält:
1 ( 1 N G ) N = 1 G N + 1 N , also 1 G N d N + 1 N d N = ln ( G N ) + ln N = ln N G N = r t + c
(Alle Integrationskonstanten werden auf der rechten Seite zusammengefasst.)

Daraus folgt: e ln N G N = N G N = e r t + c = q e r t mit  q = e c
bzw. N = ( G N ) q e r t  
und damit N = G q e r t 1 + q e r t ,   q ,  q > 0 .

Bestimmen des Parameters q: N 0 = N ( 0 ) = G q 4 + q q = N 0 G N 0 N ( t ) = G N 0 e r t G N 0 + N 0 e r t

Für die Werte r = 0,5 a 1 (a ist die Zeiteinheit 1 Jahr) und G = 100 sind partikuläre Lösungen der Differenzialgleichungen des unbeschränkten ( N 0 = 4 ) und des logistischen Wachstums ( N 0 = 4  und  N 0 = 150 ) in der folgenden Abbildung dargestellt.

Grafische Darstellung partikulärer Lösungen von Differenzialgleichungen des unbeschränkten und des logistischen Wachstums

Grafische Darstellung partikulärer Lösungen von Differenzialgleichungen des unbeschränkten und des logistischen Wachstums

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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