Unbeschränktes und logistisches Wachstum (Differenzialgleichungen)

Eine Population bestehe aus N Individuen. Nach einer Zeit $Δ t$ ist eine Änderung $Δ N$ mit $Δ N = N (t + Δ t) - N (t)$ des Populationsumfangs N zu verzeichnen. Kann die Population ohne Beschränkung wachsen, so ist die Änderung proportional zum Ausgangsumfang – je mehr Individuen vorhanden sind, desto mehr Nachwuchs stellt sich ein. Es gilt also $Δ N \sim N oder Δ N = k N$ (unbeschränktes Wachstum), wobei k als Wachstumsrate (bei unbeschränktem Wachstum) bezeichnet wird.
Ist das Wachstum durch eine Obergrenze G der Individuenzahl beschränkt, so wird sich bei noch kleiner Individuenzahl ein annähernd unbeschränktes Wachstum einstellen, mit wachsender Zahl N wird die Wachstumsrate jedoch kleiner, um schließlich bei $N = G$ den Wert 0 anzunehmen. Eine Beschränkung kommt beispielsweise zustande, wenn die Population in einem isolierten Gebiet lebt, in dem sich höchstens G Individuen ernähren können.

Die modifizierte Wachstumsrate
$k_{b} = k (1 - \frac{N}{G})$
weist das erwartete Verhalten auf.

Als Differenzengleichung ergibt sich
$Δ N = k_{b} \cdot N = k \cdot (1 - \frac{N}{G}) \cdot N$
(logistisches Wachstum).

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Die Gleichung des logistischen Wachstums wurde erstmals von VERHULST und PEARL im Jahre 1838 verwendet.

Da sich in beiden Wachstumsfällen die Änderung $Δ N$ auf einen bestimmten Zeitraum, z.B. $Δ t = 1 Jahr$ , bezieht, spielt die Art des Populationswachstums innerhalb dieses Zeitraums keine Rolle. Es könnte sich - wie bei Bakterien - um ein kontinuierliches Wachstum handeln.
Möglich wäre aber auch, dass ein an einen Lebenszyklus gebundenes diskontinuierliches Populationswachstum - wie bei Schmetterlingen - vorliegt. Im Falle des kontinuierlichen Wachstums kann man von der Differenzengleichung zu einer Differenzialgleichung übergehen.

Lösen der Differenzialgleichung des unbeschränkten Wachstums

Die Gleichung $N' (t) = r N (t), r \in ℝ, r > 0$ ist eine lineare homogene Differentialgleichung 1. Ordnung. Ihre allgemeine Lösung erhält man durch Trennen der Variablen:
$\begin{array}{l} D i e G l e i c h u n g w i r d i n d e r F o r m \frac{d N}{d t} = r N (t) g e s c h r i e b e n . \\ 1. T r e n n e n d e r V a r i a b l e n ‌ : \frac{d N}{N (t)} = r d t \\ 2. I n t e g r i e r e n ‌ : \int \frac{d N}{N (t)} = r \int d t u n d d a m i t \\ I n N = r t + c^{'}, c^{'} \in ℝ b e l . \\ 3. U m s t e l l e n n a c h N (t) ‌ : e^{\ln N} = N (t) = e^{r \cdot t + c^{'}} = e^{c^{'}} \cdot e^{r \cdot t} = c e^{r \cdot t} \\ m i t e^{c^{'}} = c, c \in ℝ, c > 0 \end{array}$
Allgemeine Lösungsfunktion ist also $N (t) = c e^{r \cdot t}$ .
Gilt die Anfangsbedingung $N (0) = N_{0}$ , so erhält man $N (0) = c e^{0} = c$ . Die Lösung des Anfangswertproblems ist daher $N (t) = N_{0} e^{r \cdot t}$ .

Lösen der Differenzialgleichung des logistischen Wachstums

Die Differentialgleichung $N' (t) = r \cdot (1 - \frac{N (t)}{G}) \cdot N (t)$ des logistischen Wachstums ist zwar auch von 1. Ordnung, aber nicht linear. Sie wird ebenfalls durch Trennen der Variablen gelöst:

1. Trennen der Variablen:

$N' (t) = \frac{d N}{d t} = r \cdot (1 - \frac{N (t)}{G}) \cdot N (t), N (0) = N_{0}$
$\frac{d N}{(1 - \frac{N (t)}{G}) \cdot N (t)} = r \cdot d t$

2. Integrieren:
$\int \frac{1}{(1 - \frac{N}{G}) \cdot N} d N = \int r d t = r t + c$

Das Integral auf der linken Seite lässt sich mittels Partialbruchzerlegung bestimmen.
Man erhält:
$\frac{1}{(1 - \frac{N}{G}) \cdot N} = \frac{1}{G - N} + \frac{1}{N}$ , also $\int \frac{1}{G - N} d N + \int \frac{1}{N} d N = - \ln (G - N) + \ln N = \ln \frac{N}{G - N} = r \cdot t + c$
(Alle Integrationskonstanten werden auf der rechten Seite zusammengefasst.)

Daraus folgt: $e^{\ln \frac{N}{G - N}} = \frac{N}{G - N} = e^{r t + c} = q \cdot e^{r t} mit q = e^{c}$
bzw. $N = (G - N) \cdot q \cdot e^{r t}$
und damit $N = \frac{G \cdot q \cdot e^{r t}}{1 + q \cdot e^{r t}}, q \in ℝ, q > 0$ .

Bestimmen des Parameters q: $N_{0} = N (0) = \frac{G \cdot q}{4 + q} \Rightarrow q = \frac{N_{0}}{G - N_{0}} \Rightarrow N (t) = \frac{G N_{0} e^{r t}}{G - N_{0} + N_{0} e^{r t}}$

Für die Werte $r = 0,5 a^{- 1}$ (a ist die Zeiteinheit 1 Jahr) und $G = 100$ sind partikuläre Lösungen der Differenzialgleichungen des unbeschränkten $(N_{0} = 4)$ und des logistischen Wachstums $(N_{0} = 4 und N_{0} = 150)$ in der folgenden Abbildung dargestellt.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Unbeschränktes und logistisches Wachstum (Differenzialgleichungen)." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/unbeschraenktes-und-logistisches-wachstum (Abgerufen: 30. April 2025, 04:44 UTC)

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Soll eine explizite Differenzialgleichung $f' (x) = G (x; f (x))$ mit der Anfangsbedingung $f (x_{0}) = y_{0}$ numerisch nach dem Polygonzugverfahren gelöst werden, so benutzt man die Differenzengleichung $\bar{f} (x + h) = \bar{f} (x) + h \cdot G (x; \bar{f} (x))$ .

Dabei ist $\bar{y} = \bar{f} (x)$ eine Näherung für die eigentlich gesuchte Funktion $y = f (x) .$

Bei Übergang zur Darstellung der Differenzengleichung als iterative Bildungsvorschrift ergibt sich ${\bar{y}}_{i + 1} = {\bar{y}}_{i} + h \cdot G (x_{i}; {\bar{y}}_{i})$ bzw. ${\bar{y}}_{i + 1} = {\bar{y}}_{i} + h \cdot m_{i}^{(p o l y)} {mit m}_{i}^{(p o l y)} = G (x_{i}; {\bar{y}}_{i})$ .

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Die einfache lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung $f' (x) + f (x) - x = 0$ lässt sich nicht durch Trennen der Variablen lösen. Wird die Differenzialgleichung nämlich in die Form $f' (x) = x - y$ gebracht, so erkennt man, dass sich die rechte Seite nicht als Produkt $g (x) \cdot h (y)$ schreiben lässt, was Voraussetzung für das Trennen der Variablen ist.
Die Lösung der inhomogenen Gleichung kann jedoch ausgehend von der Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung gefunden werden.

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