Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 8 Differenzen- und Differenzialgleichungen
  4. 8.2 Differenzialgleichungen
  5. 8.2.3 Lösungsverfahren für Differenzialgleichungen 1.Ordnung
  6. Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung

Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung

Die einfache lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung f ′ ( x ) + f ( x ) − x = 0 lässt sich nicht durch Trennen der Variablen lösen. Wird die Differenzialgleichung nämlich in die Form f ′ ( x ) = x − y gebracht, so erkennt man, dass sich die rechte Seite nicht als Produkt g ( x ) ⋅ h ( y ) schreiben lässt, was Voraussetzung für das Trennen der Variablen ist.
Die Lösung der inhomogenen Gleichung kann jedoch ausgehend von der Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung gefunden werden.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Beispiel 1:
Allgemeine Lösung der Differenzialgleichung

f ′ ( x ) + f ( x ) − x = 0

(1.) Lösung der homogenen Gleichung f ′ ( x ) + f ( x ) = 0
Diese Gleichung entspricht der Differenzialgleichung f ′ ( x ) − r ⋅ f ( x ) = 0 mit r = − 1 (siehe Beispiel 2).
Die Gleichung f ′ ( x ) + f ( x ) = 0 besitzt demzufolge die Lösung y = f ( a l lg .  hom . ) ( x ) = c ⋅ e − x ,  c ∈ ℝ .

(2.) Partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung f ′ ( x ) + f ( x ) = x
Es gilt, eine geeignete Funktion als Lösungsansatz zu finden, die dann einer Probe unterworfen wird. Generell sollte die Suche mit dem Funktionstyp begonnen werden, der in der Inhomogenität vorliegt. Hier empfiehlt sich ein Ansatz mit der linearen Funktion y = f ( x ) = x + n .

Ansatz: f ( x ) = x + n ,   n ∈ ℝ ,  f ′ ( x ) = 1

Probe in der Differenzialgleichung:
Die Gleichung 1 + x + n = x wird nur für n = − 1 zu einer wahren Aussage.

Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist demnach:
f ( p a r t .  inh . ) ( x ) = x − 1

(3.) Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung f ′ ( x ) + f ( x ) = x
Da die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differenzialgleichung gleich der Summe aus einer partikulären Lösung dieser inhomogenen und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differenzialgleichung ist, gilt:
f ( a l lg .  inh . ) ( x ) = f ( a l lg .  hom . ) ( x ) + f ( p a r t .  inh . ) ( x ) hier also
f ( x ) = c ⋅ e −   x + x − 1,   c ∈ ℝ

  • Lösungen der linearen Differenzialgleichung f′(x)+f(x)−x=0

Nach dem im Beispiel gezeigten Vorgehen lassen sich eine Reihe anderer linearer Differenzialgleichungen 1. Ordnung lösen. Es gibt sogar eine allgemeine Lösungsformel für die Differenzialgleichung f ′ ( x ) + Q ( x ) ⋅ f ( x ) = S ( x ) , die hier aber nicht behandelt werden soll. Wir beschränken uns vielmehr auf den Fall konstanter Koeffizienten, für die sich in Analogie zu den Differenzengleichungen eine allgemeine Lösung entwickeln lässt. Der Lösungsweg folgt dem vorhergehenden Beispiel.

Beispiel 2:
Lösung einer linearen Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Es soll die Lösung einer Differenzialgleichung der Form
f ′ ( x ) + q f ( x ) = s  mit q , s ∈ ℝ ermittelt werden.

Für q = 0 vereinfacht sich die Differenzialgleichung zur einfachen Integrationsaufgabe f ′ ( x ) = s mit f ( x ) = s x + c ,  c ∈ ℝ  bel . als Lösung. Deshalb soll nachfolgend q ≠ 0 gelten.

(1.) Die allgemeine Lösung der homogenen linearen Differenzialgleichung f ′ ( x ) + q f ( x ) = 0 erhält man durch Trennen der Variablen: D i e   G l e i c h u n g   w i r d   i n   d e r   F o r m   d y d x = −   q   y   g e s c h r i e b e n . 1.   T r e n n e n   d e r   V a r i a b l e n ‌   :     d y y = −   q   d x   2.   I n t e g r i e r e n ‌   :             ∫ d y y = − q ∫ d x   u n d   d a m i t                                             I n   | y |   = − q x + k ,   k ∈ ℝ   b e l . 3.   U m s t e l l e n   n a c h   y ‌   :             e ln | y | = | y | = e − q x + k = e k ⋅ e − q x = c ⋅ e − q x   m i t                                              e k = c ,   c ∈ ℝ ,   c > 0

Lässt man c ∈ ℝ   b e l . zu, so kann sich das Vorzeichen von y in c widerspiegeln und als allgemeine Lösung ergibt sich: y = f ( a l lg .  hom ) ( x ) = c ⋅ e − q x ,  c ∈ ℝ  bel

(2.) Partikuläre Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung f ′ ( x ) + q f   ‌ ( x ) = s :
Als Lösungsansatz wird eine konstanten Funktion verwendet:
Ansatz: f ( x ) = r ,  r ∈ ℝ ; f ′ ( x ) = r ′ = 0
Probe: f ′ ( x ) + q f ( x ) = q r = s
Um diese Gleichung zu einer wahren Aussage zu machen, muss r = s q gelten. Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ist demnach f ( p a r t .  inh . ) ( x ) = s q .

(3.) Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung
Wegen f ( a l lg .  inh . ) ( x ) = f ( a l lg .  hom . ) ( x ) + f ( p a r t .  inh . ) ( x ) gilt im vorliegenden Fall: f ( a l lg .  inh . ) = c ⋅ e − q x + s q  mit c ∈ ℝ , bel

Das Ergebnis des letzten Beispiels lässt sich als Satz zusammenfassen:
Die allgemeine Lösung einer Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten f ′ ( x ) + q f ( x ) = s  mit x , q , s ∈ ℝ ist die Funktion
y = f ( x ) = { c + s x , w e n n       q = 0 c ⋅ e −   q x + s q , w e n n       q ≠ 0     m i t   c ∈ ℝ   b e l .

In der folgenden Abbildung wird das Lösungsverhalten linearer Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten in Abhängigkeit von den Parametern q und s systematisierend dargestellt.

  • Lösungsverhalten linearer Differenzialgleichungen 1. Ordnung in Abhängigkeit von q und s
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung ." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/lineare-differenzialgleichungen-1-ordnung (Abgerufen: 09. June 2025, 14:30 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Trennung der Variablen
  • Berechnung
  • elementar lösbar
  • Variation der Konstanten
  • Mathcad
  • interaktives Rechenbeispiel
  • Substitution
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Differenzialgleichungen zur Beschreibung von Federschwingungen

Ein Körper, der an einer Feder befestigt ist, führt nach einer Auslenkung eine Schwingung durch. Der Ort des Körpers wird durch die zeitabhängige Ortskoordinate y(t) beschrieben, deren Gleichung gefunden werden soll.
Im Folgenden werden mit einer derartigen Anordnung gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen untersucht.

Differenzialgleichungen zur Beschreibung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators

In einem Gleichstromkreis befindet sich eine Spannungsquelle mit der Spannung U 0 ein ohmscher Widerstand R und ein Kondensator mit der Kapazität C.
Wird Spannung angelegt, so fließt über den Widerstand R ein Strom I zum Kondensator und lädt ihn auf. Dabei wächst die Kondensatorspannung U C = Q C .

Beim Stromfluss fällt am Widerstand die Spannung U R = I ⋅ R ab. Die Summe aus Spannungsabfall am ohmschen Widerstand und Kondensatorspannung ist immer gleich der Spannung der Spannungsquelle.

Es gilt also U 0 = U R + U C = I R + Q C , woraus mit I = d Q d   t folgt:
U 0 = R d Q d   t + Q C   b z w .   d Q d   t + Q R C = U 0 R

Diese Gleichung ist eine lineare inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung der Form f ′ ( x ) + q   f ( x ) = s mit den Koeffizienten q = 1 R C   u n d   s = U 0 R sowie der gesuchten Funktion Q = Q ( t ) , die im Folgenden zu lösen ist.

Differenzialgleichungen zur Beschreibung des elektromagnetischen Schwingkreises

Ein elektromagnetischer Schwingkreis ist ein geschlossener Stromkreis, in dem ein Kondensator und eine Spule (mit induktivem und ohmschem Widerstand - in der folgenden Abbildung der Übersichtlichkeit halber getrennt gezeichnet) in Reihe geschaltet sind.

Differenzialgleichungen zur Beschreibung der Füllstandssteuerung einer Talsperre

Der Füllstand einer Talsperre wird ausgedrückt durch das (aktuelle) Stauvolumen V(t), das sich durch den Zu- und Abfluss von Wasser mit der Zeit t ändern kann. Zu- und Abfluss von Wasser geben an, welches Wasservolumen pro Zeiteinheit in die Talsperre hinein- bzw. aus ihr herausfließt.
Beide werden zusammengefasst zur Wasserzufuhr Z(t), die sich ebenfalls mit der Zeit ändern kann. Überwiegt der Zufluss, so gilt Z ( t ) ≥ 0, überwiegt dagegen der Abfluss, so ist Z ( t ) ≤ 0.

Lösen von linearen inhomogenen Differenzialgleichungen 1. Ordnung mittels Variation der Konstanten

Die Gleichung y ′ + f ( x ) y + g ( x ) = 0 ist die allgemeine Form einer linearen inhomogenen Differenzialgleichung 1. Ordnung.
Mit Variation der Konstanten wird eine Methode zum Integrieren dieser Gleichung bezeichnet. Die Vorgehensweise besteht darin, zuerst die zugehörige homogene Differenzialgleichung zu lösen, d.h., das Glied g(x) zu vernachlässigen. In diese Lösung geht ein freier Parameter c ein. Dieser wird dann als Funktion von x betrachtet und so bestimmt, dass die so modifizierte Lösung der linearen homogenen Differenzialgleichung der inhomogenen genügt.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025