Differenzialgleichungen zur Beschreibung des elektromagnetischen Schwingkreises

Ein elektromagnetischer Schwingkreis ist ein geschlossener Stromkreis, in dem ein Kondensator und eine Spule (mit induktivem und ohmschem Widerstand - in der folgenden Abbildung der Übersichtlichkeit halber getrennt gezeichnet) in Reihe geschaltet sind.

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Da es sich um einen geschlossenen Stromkreis ohne Spannungsquelle handelt, gilt:
$U_{I N} + U_{R} + U_{C} = 0 b z w . L \cdot l' (t) + R \cdot I (t) + \frac{Q (t)}{C} = 0$ (1)

Da $Q' (t) = I (t)$ gilt, erhält man durch Differenzieren der Gleichung (1) folgende Differenzialgleichung:
$L \cdot l ″ (t) + R \cdot I' (t) + \frac{I (t)}{C} = 0$ bzw. $l ″ (t) + \frac{R}{L} l' (t) + \frac{1}{L C} l (t) = 0$ (2)

Hierbei handelt es sich um eine lineare homogene Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form
$f ″ (x) + q f' (x) + r f (x) = 0 m i t q = \frac{R}{L} u n d r = \frac{1}{L C}$ .

Als Lösungsansatz verwendet man die Exponentialfunktion $f (x) = e^{k x}$ , für die k zu bestimmen ist. Die Gleichung zur Bestimmung von k heißt die charakteristische Gleichung der Differenzialgleichung.

Die zur Differenzialgleichung (2) gehörende charakteristische Gleichung lautet $k^{2} + \frac{R}{L} k + \frac{1}{L C} = 0$ mit der Lösung $k_{1 / 2} = - \frac{R}{2 L} \pm \sqrt{\frac{R^{2}}{4 L^{2}} - \frac{1}{L C}} .$ (3)

Mit den Lösungen $k_{1} u n d k_{2}$ erhält man als allgemeine Lösung der Differenzialgleichung $f ″ (x) + q f' (x) + r f (x) = 0 m i t q = \frac{R}{L} u n d r = \frac{1}{L C}$ :

$\begin{array}{l} f (x) = {\begin{matrix} c_{1} \cdot e^{k_{1} x} + c_{2} \cdot e^{k_{2} x} & f ü r r < \frac{q^{2}}{4} \\ \begin{matrix} c_{1} \cdot e^{k x} + c_{2} \cdot x \cdot e^{k x} \\ c_{1} \cdot e^{- \frac{q}{2} \cdot x} \cos ω x + c_{2} \cdot e^{- \frac{q}{2} \cdot x} \sin ω x \end{matrix} & \begin{matrix} f ü r r = \frac{q^{2}}{4}, k_{1} = k_{2} = k \\ f ü r r > \frac{q^{2}}{4}, ω = \sqrt{r - \frac{q^{2}}{4}} \end{matrix} \end{matrix}} \\ m i t c_{1}, c_{2} k o n s \tan t \end{array}$

Demnach hängt das Lösungsverhalten vom Größenvergleich zwischen $r = \frac{1}{L C} u n d \frac{q^{2}}{4} = \frac{R^{2}}{4 L^{2}}$ ab.

Beispiel

Es wird ein Schwingkreis betrachtet mit $L = 0,1 H = 0,1 \frac{V s}{A} u n d C = 10 μ F = 10^{- 5} F = 10^{- 5} \frac{A s}{V}$ .

Für den Fall reeller Doppellösungen in Gleichung (3) erhält man $\frac{R^{2}}{4 L^{2}} = \frac{1}{L C}$ und daraus $R = 200 Ω .$

Im Weiteren werden vier Fälle betrachtet:

	$R_{1} = 800 Ω$	$R_{2} = 200 Ω$
Lösungen der char. Gleichung	zwei reelle Lösungen $\begin{array}{l} k_{1} = - 127,02 s^{- 1} \\ k_{2} = - 7872,98 s^{- 1} \end{array}$	eine reelle Doppellösung $k = - 1000 s^{- 1}$
Kreisfrequenz	keine Schwingung	keine Schwingung
allg. Lösung der Differenzialgl.	$\begin{array}{l} l_{1} (t) = \\ c_{1} e^{- 127,02 s^{- 1} \cdot t} + \\ c_{2} e^{- 7872,98 s^{- 1} \cdot t} \end{array}$	$\begin{array}{l} l_{2} (t) = \\ (c_{1} + c_{2} t) \cdot e^{- 1000 s^{- 1} \cdot t} \end{array}$

	$R_{3} = 50 Ω$	$R_{4} = 0 Ω$
Lösungen der char. Gleichung	zwei komplexe Lösungen	zwei komplexe Lösungen
Kreisfrequenz	$ω = 968,25 s^{- 1}$	$ω = 1000 s^{- 1}$
allg. Lösung der Differenzialgl.	$\begin{array}{l} l_{3} (t) = \\ e^{- 250 s^{- 1} \cdot t} (c_{1} \cos 968,25 s^{- 1} t \\ + c_{2} \sin 968,25 s^{- 1} t) \end{array}$	$\begin{array}{l} l_{4} (t) = \\ c_{1} \cos 1000 s^{- 1} t \\ + c_{2} \sin 1000 s^{- 1} t \end{array}$

Als partikuläre Lösung für $U_{C} (0) = 10 V, l (0) = 0$ ergeben sich dann:

$\begin{array}{l} K r i e c h f a l l : \\ l_{1} (t) = - 0,0129 A \cdot e^{- 127,02 s^{- 1} \cdot t} + 0,0129 A \cdot e^{- 7872,98 s^{- 1} \cdot t} \\ a p e r i o d i s c h e r G r e n z f a l l : \\ l_{2} (t) = - 100 A s^{- 1} t \cdot e^{- 1000 s^{- 1} \cdot t} \\ g e d ä m p f t e S c h w i n g u n g e n : \\ I_{3} (t) = e^{- 250 s^{- 1} \cdot t} \cdot 0,1033 A \sin 968,25 s^{- 1} t \\ u n g e d ä m p f t e S c h w i n g u n g e n : \\ l_{4} (t) = - 0,1 A \sin 1000 s^{- 1} t \end{array}$

Hinweis: Wenn $l = 0, d a n n i s t U_{R} = 0, a l s o U_{I N} = - U_{C} = - 10 V$ und damit $l' (0) = - \frac{10 V}{0,1 H} = - 100 A s^{- 1} .$

Die Stromstärkeverläufe für die vier verschiedenen Widerstände sind in der folgenden Abbildung grafisch dargestellt. Man erkennt, wie sich die wachsenden Widerstandsgrößen auf die Kurven für die zugehörigen Stromstärken auswirken.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Differenzialgleichungen zur Beschreibung des elektromagnetischen Schwingkreises." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/differenzialgleichungen-zur-beschreibung-des (Abgerufen: 19. May 2025, 21:41 UTC)

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Wird Spannung angelegt, so fließt über den Widerstand R ein Strom I zum Kondensator und lädt ihn auf. Dabei wächst die Kondensatorspannung $U_{C} = \frac{Q}{C} .$

Beim Stromfluss fällt am Widerstand die Spannung $U_{R} = I \cdot R$ ab. Die Summe aus Spannungsabfall am ohmschen Widerstand und Kondensatorspannung ist immer gleich der Spannung der Spannungsquelle.

Es gilt also $U_{0} = U_{R} + U_{C} = I R + \frac{Q}{C},$ woraus mit $I = \frac{d Q}{d t}$ folgt:
$U_{0} = R \frac{d Q}{d t} + \frac{Q}{C} b z w . \frac{d Q}{d t} + \frac{Q}{R C} = \frac{U_{0}}{R}$

Diese Gleichung ist eine lineare inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung der Form $f' (x) + q f (x) = s$ mit den Koeffizienten $q = \frac{1}{R C} u n d s = \frac{U_{0}}{R}$ sowie der gesuchten Funktion $Q = Q (t)$ , die im Folgenden zu lösen ist.

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Die Gleichung $y^{'} + f (x) y + g (x) = 0$ ist die allgemeine Form einer linearen inhomogenen Differenzialgleichung 1. Ordnung.
Mit Variation der Konstanten wird eine Methode zum Integrieren dieser Gleichung bezeichnet. Die Vorgehensweise besteht darin, zuerst die zugehörige homogene Differenzialgleichung zu lösen, d.h., das Glied g(x) zu vernachlässigen. In diese Lösung geht ein freier Parameter c ein. Dieser wird dann als Funktion von x betrachtet und so bestimmt, dass die so modifizierte Lösung der linearen homogenen Differenzialgleichung der inhomogenen genügt.

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