Richtungsfeld einer Differenzialgleichung

Gewöhnliche Differenzialgleichungen beschreiben Kurvenscharen in der Ebene. Eine Differenzialgleichung 1. Ordnung ordnet jedem Punkt der xy-Ebene einen Wert zu (vorausgesetzt, dass für den Punkt ein Wert definiert ist), welcher der Richtung der Tangente der Integralkurve in diesem Punkt entspricht, ein sogenanntes Linienelement.
Die Gesamtheit der Linienelemente ist das durch die Differenzialgleichung beschriebene Richtungsfeld. Das Bestimmen der Lösung der Differenzialgleichung ist das Bestimmen der Kurven, die auf dieses Richtungsfeld „passen“.

Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Jetzt 30 Tage risikofrei testen

Durch die explizite Differenzialgleichung 1. Ordnung $y^{'} = f (x, y)$ sei für jeden Punkt $P (x_{0}; y_{0})$ ein Wert definiert, nämlich $f (x_{0}; y_{0})$ , er beschreibt den Anstieg der Integralkurve in diesem Punkt: $y^{'} (x_{0}; y_{0}) = f (x_{0}; y_{0})$
Durch $y^{'} = c o n s t .$ werden Kurven mit gleichen Linienelementen (oder Richtungselementen) beschrieben, sogenannte Isoklinen oder Neigungslinien.

Beispiel: Die Differenzialgleichung $(2 y - x^{2}) d x + d y = 0$ lautet in expliziter Darstellung $y^{'} = x^{2} - 2 y$ .
Isoklinen ergeben sich für $y^{'} = c_{1}, a l s o x^{2} - 2 y = c_{1}$ . Das sind die Parabeln $y = \frac{1}{2} x^{2} + c$ , also gestauchte, nach oben geöffnete Parabeln symmetrisch zur y-Achse.

Die Isoklinen von $y y^{'} - x = 0$ ergeben sich $\frac{x}{y} = c, y \neq 0, a l s o y = \frac{x}{c}$ .
Die Isoklinen sind Halbgeraden.

$y' = - \frac{1}{4} \frac{x}{y}, y \neq 0,$ soll im 1. Quadraten betrachtet werden.
Die Isoklinen sind $y = - \frac{1}{4 c} x$ .

Eine grobe Näherung für die Integralkurve erhielte man, wenn man einen Polygonzug dem Richtungsfeld anpasst.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Richtungsfeld einer Differenzialgleichung ." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/richtungsfeld-einer-differenzialgleichung (Abgerufen: 20. May 2025, 07:44 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

Jetzt durchstarten

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Differenzialgleichungen zur Beschreibung von Federschwingungen

Ein Körper, der an einer Feder befestigt ist, führt nach einer Auslenkung eine Schwingung durch. Der Ort des Körpers wird durch die zeitabhängige Ortskoordinate y(t) beschrieben, deren Gleichung gefunden werden soll.
Im Folgenden werden mit einer derartigen Anordnung gedämpfte und ungedämpfte Schwingungen untersucht.

Differenzialgleichungen zur Beschreibung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators

In einem Gleichstromkreis befindet sich eine Spannungsquelle mit der Spannung $U_{0}$ ein ohmscher Widerstand R und ein Kondensator mit der Kapazität C.
Wird Spannung angelegt, so fließt über den Widerstand R ein Strom I zum Kondensator und lädt ihn auf. Dabei wächst die Kondensatorspannung $U_{C} = \frac{Q}{C} .$

Beim Stromfluss fällt am Widerstand die Spannung $U_{R} = I \cdot R$ ab. Die Summe aus Spannungsabfall am ohmschen Widerstand und Kondensatorspannung ist immer gleich der Spannung der Spannungsquelle.

Es gilt also $U_{0} = U_{R} + U_{C} = I R + \frac{Q}{C},$ woraus mit $I = \frac{d Q}{d t}$ folgt:
$U_{0} = R \frac{d Q}{d t} + \frac{Q}{C} b z w . \frac{d Q}{d t} + \frac{Q}{R C} = \frac{U_{0}}{R}$

Diese Gleichung ist eine lineare inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung der Form $f' (x) + q f (x) = s$ mit den Koeffizienten $q = \frac{1}{R C} u n d s = \frac{U_{0}}{R}$ sowie der gesuchten Funktion $Q = Q (t)$ , die im Folgenden zu lösen ist.

Differenzialgleichungen zur Beschreibung der Füllstandssteuerung einer Talsperre

Der Füllstand einer Talsperre wird ausgedrückt durch das (aktuelle) Stauvolumen V(t), das sich durch den Zu- und Abfluss von Wasser mit der Zeit t ändern kann. Zu- und Abfluss von Wasser geben an, welches Wasservolumen pro Zeiteinheit in die Talsperre hinein- bzw. aus ihr herausfließt.
Beide werden zusammengefasst zur Wasserzufuhr Z(t), die sich ebenfalls mit der Zeit ändern kann. Überwiegt der Zufluss, so gilt $Z (t) \geq 0,$ überwiegt dagegen der Abfluss, so ist $Z (t) \leq 0$ .

Unbeschränktes und logistisches Wachstum (Differenzialgleichungen)

Eine Population bestehe aus N Individuen. Nach einer Zeit $Δ t$ ist eine Änderung $Δ N$ mit $Δ N = N (t + Δ t) - N (t)$ des Populationsumfangs N zu verzeichnen. Kann die Population ohne Beschränkung wachsen, so ist die Änderung proportional zum Ausgangsumfang – je mehr Individuen vorhanden sind, desto mehr Nachwuchs stellt sich ein. Es gilt also $Δ N \sim N oder Δ N = k N$ (unbeschränktes Wachstum), wobei k als Wachstumsrate (bei unbeschränktem Wachstum) bezeichnet wird.
Ist das Wachstum durch eine Obergrenze G der Individuenzahl beschränkt, so wird sich bei noch kleiner Individuenzahl ein annähernd unbeschränktes Wachstum einstellen, mit wachsender Zahl N wird die Wachstumsrate jedoch kleiner, um schließlich bei $N = G$ den Wert 0 anzunehmen. Eine Beschränkung kommt beispielsweise zustande, wenn die Population in einem isolierten Gebiet lebt, in dem sich höchstens G Individuen ernähren können.

Die modifizierte Wachstumsrate
$k_{b} = k (1 - \frac{N}{G})$
weist das erwartete Verhalten auf.

Als Differenzengleichung ergibt sich
$Δ N = k_{b} \cdot N = k \cdot (1 - \frac{N}{G}) \cdot N$
(logistisches Wachstum).

Differenzialgleichungen zur Beschreibung des elektromagnetischen Schwingkreises

Ein elektromagnetischer Schwingkreis ist ein geschlossener Stromkreis, in dem ein Kondensator und eine Spule (mit induktivem und ohmschem Widerstand - in der folgenden Abbildung der Übersichtlichkeit halber getrennt gezeichnet) in Reihe geschaltet sind.

Richtungsfeld einer Differenzialgleichung

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

Suche nach passenden Schlagwörtern