Richtungsfeld einer Differenzialgleichung

Durch die explizite Differenzialgleichung 1. Ordnung $y^{\prime }=f(x,y)$ sei für jeden Punkt $P(x_0;y_0)$ ein Wert definiert, nämlich $f(x_0;y_0)$, er beschreibt den Anstieg der Integralkurve in diesem Punkt: $y^{\prime }(x_0;y_0)=f(x_0;y_0)$
Durch $y^{\prime }=const.$ werden Kurven mit gleichen Linienelementen (oder Richtungselementen) beschrieben, sogenannte Isoklinen oder Neigungslinien.

Beispiel: Die Differenzialgleichung $(2y-x^2)dx+dy=0$ lautet in expliziter Darstellung $y^{\prime }=x^2-2y$.
Isoklinen ergeben sich für $y^{\prime }=c_1,also{x}^2-2y=c_1$. Das sind die Parabeln $y=\frac{1}{2}{x}^2+c$, also gestauchte, nach oben geöffnete Parabeln symmetrisch zur y-Achse.

Die Isoklinen von $y{y}^{\prime }-x=0$ ergeben sich $\frac{x}{y}=c,y\ne \mathrm{0,}alsoy=\frac{x}{c}$.
Die Isoklinen sind Halbgeraden.

$y\prime =-\frac{1}{4}\frac{x}{y},y\ne \mathrm{0,}$ soll im 1. Quadraten betrachtet werden.
Die Isoklinen sind $y=-\frac{1}{4c}x$.

Eine grobe Näherung für die Integralkurve erhielte man, wenn man einen Polygonzug dem Richtungsfeld anpasst.