Numerische Lösungsverfahren für Differentialgleichungen

Die Grundidee der meisten numerischen Lösungsverfahren für Differenzialgleichungen 1. Ordnung besteht im Polygonzugverfahren. Mathematisch beruht es auf dem Übergang von der Differenzialgleichung zu einer entsprechenden Differenzengleichung.

In einer Differenzialgleichung 1. Ordnung in expliziter Form $f\prime \left(x\right)=G\left(x;\text{ f}\left(\text{x}\right)\right)$ kann man den Differenzialquotienten
$f\prime \left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$
bei hinreichend klein festgelegtem h näherungsweise durch den Differenzenquotienten
$\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$
ersetzen.

Unter dieser Voraussetzung gilt für $f\prime \left(x\right)=G\left(x;f\left(x\right)\right)$ (1)

$G\left(x;f\left(x\right)\right)=f\prime \left(x\right)\approx \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$ bzw. $h\cdot G\left(x;f\left(x\right)\right)=h\cdot f\prime \left(x\right)\approx f\left(x+h\right)-f\left(x\right)=\Delta f\left(x\right)$ oder kürzer: $h\cdot G\left(x;f\left(x\right)\right)\approx \Delta f\left(x\right)$ (2)

Setzt man hier statt des „ungefähr gleich“ ein „ist gleich“, so erhält man eine Gleichung für eine Funktion $\overline{f}$, die eine Näherung für f ist. Es gilt
$h\cdot G\left(x;\overline{f}\left(x\right)\right)=\Delta \overline{f}\left(x\right)\text{ bzw}\text{. }\overline{f}\left(x+h\right)=\overline{f}\left(x\right)+hG\left(x;\overline{f}\left(x\right)\right)$
oder
$\Delta \overline{f}\left(x\right)=L\left(x;\overline{f}\left(x\right)\right)\text{ mit }L\left(x;\overline{f}\left(x\right)\right)=h\text{ G}\left(x;\overline{f}\left(x\right)\right)$ (3).

Gleichung (3) ist eine Differenzengleichung. Sie kann numerisch gelöst werden. Falls es sogar eine lineare Differenzengleichung ist, lässt sie sich exakt lösen. Die jeweils erhaltene Funktion $\overline{y}=\overline{f}\left(x\right)$ ist eine Näherungslösung der Differenzialgleichung (1).

Beispiel 1: Die Differenzialgleichung
$f\prime \left(x\right)=r\left(\frac{1-f\left(x\right)}{G}\right)f\left(x\right)$
mit $r=\mathrm{0,5}$ und $G=100$ soll in eine Differenzengleichung mit $h=2$ umgewandelt und eine Näherungslösung der Differenzialgleichung für die Anfangsbedingung $f\left(0\right)=4$ angegeben werden.

Aus $\mathrm{0,5}=\left(1-\frac{f\left(x\right)}{100}\right)f\left(x\right)=f\prime \left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\approx \frac{f\left(x+2\right)-f\left(x\right)}{2}$erhält man $f\left(x+2\right)-f\left(x\right)=\Delta f\left(x\right)\approx \mathrm{0,5}\cdot 2\left(1-\frac{f\left(x\right)}{100}\right)f\left(x\right)bzw.\left(1-\frac{\overline{f}\left(x\right)}{100}\right)\overline{f}\left(x\right)$.

Mit den Transformationen $\overline{f}\left(x\right)=y_{i}und\Delta \overline{f}(x)=y_{i+1}-y_i$ entsteht die Differenzengleichung in der Form $y_{i+1}=2y_i-\mathrm{0,01}{y}_i{}^2$.

Man erhält dafür folgende Wertetabelle:

Die in der Tabelle berechneten Werte bilden eine Näherungslösung für das hier gestellte Anfangswertproblem. Diese Näherungslösung ist in der folgenden Abbildung grafisch dargestellt.