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Numerische Lösungsverfahren für Differentialgleichungen

Viele Differenzialgleichungen – auch solche 1. Ordnung – lassen sich nicht oder nur aufwendig lösen. Deshalb ist es wichtig, neben exakten auch über numerische Lösungsverfahren zu verfügen, die Näherungslösungen für Anfangswertprobleme liefern. Da sich numerische Lösungsverfahren mithilfe von Computern abarbeiten lassen, werden Differenzialgleichungen für einen immer breiteren Interessentenkreis zugänglich.

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Die Grundidee der meisten numerischen Lösungsverfahren für Differenzialgleichungen 1. Ordnung besteht im Polygonzugverfahren. Mathematisch beruht es auf dem Übergang von der Differenzialgleichung zu einer entsprechenden Differenzengleichung.

In einer Differenzialgleichung 1. Ordnung in expliziter Form f ′ ( x ) = G ( x ;  f ( x ) ) kann man den Differenzialquotienten
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h
bei hinreichend klein festgelegtem h näherungsweise durch den Differenzenquotienten
f ( x + h ) − f ( x ) h
ersetzen.

Unter dieser Voraussetzung gilt für f ′ ( x ) = G ( x ;   f ( x ) ) (1)

G ( x ;   f ( x ) ) = f ′ ( x ) ≈ f ( x + h ) − f ( x ) h bzw. h ⋅ G ( x ;   f ( x ) ) = h ⋅ f ′ ( x ) ≈ f ( x + h ) − f ( x ) = Δ   f ( x ) oder kürzer: h ⋅ G ( x ;   f ( x ) ) ≈ Δ   f ( x ) (2)

Setzt man hier statt des „ungefähr gleich“ ein „ist gleich“, so erhält man eine Gleichung für eine Funktion f ¯ , die eine Näherung für f ist. Es gilt
h ⋅ G ( x ;   f ¯ ( x ) ) = Δ f ¯ ( x )  bzw .  f ¯ ( x + h ) = f ¯ ( x ) + h   G ( x ; f ¯ ( x ) )
oder
Δ f ¯ ( x ) = L ( x ; f ¯ ( x ) )  mit  L ( x ; f ¯ ( x ) ) = h  G ( x ; f ¯ ( x ) ) (3).

Gleichung (3) ist eine Differenzengleichung. Sie kann numerisch gelöst werden. Falls es sogar eine lineare Differenzengleichung ist, lässt sie sich exakt lösen. Die jeweils erhaltene Funktion y ¯ = f ¯ ( x ) ist eine Näherungslösung der Differenzialgleichung (1).

Beispiel 1: Die Differenzialgleichung
f ′ ( x ) = r ( 1 − f ( x ) G ) f ( x )
mit r = 0,5 und G = 100 soll in eine Differenzengleichung mit h = 2 umgewandelt und eine Näherungslösung der Differenzialgleichung für die Anfangsbedingung f ( 0 ) = 4 angegeben werden.

Aus 0,5 = ( 1 − f ( x ) 100 ) f ( x ) = f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h ≈ f ( x + 2 ) − f ( x ) 2 erhält man f ( x + 2 ) − f ( x ) = Δ f ( x ) ≈ 0,5 ⋅ 2 ( 1 − f ( x ) 100 ) f ( x )   b z w .   ( 1 − f ¯ ( x ) 100   ) f ¯ ( x ) .

Mit den Transformationen f ¯ ( x ) = y i   u n d   Δ f ¯ ( x ) = y i   + 1 − y i entsteht die Differenzengleichung in der Form y i   + 1 = 2   y i − 0,01   y i 2 .

Man erhält dafür folgende Wertetabelle:
Bild

Die in der Tabelle berechneten Werte bilden eine Näherungslösung für das hier gestellte Anfangswertproblem. Diese Näherungslösung ist in der folgenden Abbildung grafisch dargestellt.

  • Näherungslösung einer Differenzialgleichung

Die Tatsache, dass eine Lösung der Differenzengleichung (3) eine Näherungslösung der Differenzialgleichung (1) ist, soll am Beispiel der linearen Differenzen- und Differenzialgleichungen belegt werden.

Beispiel 2:: Die Differenzialgleichung f ′ ( x ) + q f ( x ) = s  mit x , q , s ∈ ℝ  und q ≠ 0 besitzt folgende Lösung:
y = f ( x ) = c ⋅ e − q x + s q  mit  c ∈ ℝ   b e l . (4)

Dieselbe Differenzialgleichung kann nach obigem Vorgehen auch in die Differenzengleichung
Δ f ¯ ( x ) + h q f ¯ ( x ) = h s  mit  h ≠ 0 (5)
umgewandelt werden.

Unter Nutzung der Transformationen f ¯ ( x ) = y i  und  Δ f ¯ ( x ) = y i   + 1 − y i erhält man daraus y i   + l − y i + h q y i = h s  bzw . y i   +l = ( 1 − h q ) y i + h s .

Diese Differenzengleichung besitzt die Lösung y i = c ( 1 − h q ) i − h s 1 − h q − 1 = c ( 1 − h q ) i + s q bzw. ( w e g e n  i = x − x 0 h )
f ¯ ( x ) = c ( 1 − h q ) x − x 0 h + s q = c ( 1 − h q ) x h ⋅ ( 1 − h q ) − x 0 h + s h .

Mit c ′ = c ⋅ ( 1 − h q ) − x 0 h ergibt sich als Lösung von (5):
f ¯ ( x ) = c ′ ( 1 − h q ) x h + s q (6)

Ist neben der Differenzialgleichung f ′ ( x ) + q f ( x ) = s auch die Anfangsbedingung f ( 0 ) = y 0 gegeben, so müssen in den Gleichungen (4) und (6) die Parameter bestimmt werden.

Bestimmung für Gleichung (4):
y       = f ( x ) = c ⋅ e − q x + s q       y 0 = f ( 0 ) = c + s q ,   a l s o   c = y 0 − s q         y       = f ( x ) = ( y 0 − s q ) ⋅ e − q x + s q (7)

Bestimmung für Gleichung (6):
y ¯       = f ¯ ( x ) = c ´ ( 1 − h q ) x h + s q       y 0 = f ¯ ( 0 ) = c ´   +     s q ,   a l s o   c ´ = y 0 − s q         y ¯       = f ¯ ( x ) = ( y 0 − s q ) ( 1 − h q ) x h + s q (8)

Für die Parameterwerte s = 2,   q = 1   u n d   y 0 = 0 ergeben sich die Gleichungen
y       = f ( x ) = − 2   e − x + 2 (9)
und
y ¯       = f ¯ ( x ) = − 2 ( 1 − h ) x h + 2 (10).

In der folgenden Abbildung sind die Lösung (9) sowie Näherungslösungen nach (10) mit h = 0,8,   h = 0,4   u n d   h = 0,2 abgebildet. Je kleiner h wird, desto besser stimmt die Näherungslösung mit der exakten Lösung überein und desto höher ist der Rechenaufwand.

  • Lösung und ausgewählte Näherungslösungen einer Differenzialgleichung
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Numerische Lösungsverfahren für Differentialgleichungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/numerische-loesungsverfahren-fuer-differentialgleichungen (Abgerufen: 20. May 2025, 13:08 UTC)

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Soll eine explizite Differenzialgleichung f ′ ( x ) = G ( x ;   f ( x ) ) mit der Anfangsbedingung f ( x 0 ) = y 0 numerisch nach dem Polygonzugverfahren gelöst werden, so benutzt man die Differenzengleichung f ¯ ( x + h ) = f ¯ ( x ) + h ⋅ G ( x ;   f ¯ ( x ) ) .

Dabei ist y ¯ = f ¯ ( x ) eine Näherung für die eigentlich gesuchte Funktion y = f ( x ) .

Bei Übergang zur Darstellung der Differenzengleichung als iterative Bildungsvorschrift ergibt sich y ¯ i   + 1 = y ¯ i + h ⋅ G ( x i ;   y ¯ i ) bzw. y ¯ i   + 1 = y ¯ i + h ⋅ m i ( p o l y )  mit m i ( p o l y ) = G ( x i ;   y ¯ i ) .

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Differenzengleichungen bieten einen elementaren mathematischen Zugang zu anspruchsvollen praktischen Fragestellungen, z.B. aus der Populationsdynamik, der Finanzmathematik und der Technik. Das Bearbeiten von Differenzengleichungen umfasst im Wesentlichen das Abarbeiten von iterativen Berechnungsverfahren und rekursiven Bildungsvorschriften, das Finden expliziter Bildungsvorschriften für Folgen, das Lösen von Gleichungssystemen und ähnliche elementare Anforderungen.
Als Beispiele werden aus der Finanzmathematik Ratensparen, Guthabenverrentung und Annuitätendarlehen, aus der Technik die Temperaturanpassung an eine Umgebungstemperatur behandelt.

Darstellung geometrischer Objekte durch Differenzialgleichungen

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Terminologie der Differenzialgleichungen

Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der Ableitungen unbekannter Funktionen auftreten. Handelt es sich bei den Funktionen um Funktionen einer Veränderlichen, so nennt man die Differenzialgleichungen „gewöhnliche Differenzialgleichungen“, bei mehreren Veränderlichen „partielle Differenzialgleichungen“.

Beispiele für gewöhnliche Differenzialgleichungen sind x   y ′ − y + c     x = 0 oder auch y ″ = c   y .

Die Theorie der Differenzialgleichungen untersucht, ob es eine oder mehrere Funktionen gibt, die (in die Differenzialgleichung eingesetzt) diese für jeden Wert der Variablen erfüllen und wie diese Funktion bzw. diese Funktionen gefunden werden können. Für einige Typen von Differenzialgleichungen lassen sich exakte Verfahren zum Auffinden von Lösungen angeben, sonst müssen Näherungsverfahren oder numerische Verfahren verwendet werden. Für numerische Verfahren werden auf modernen Rechenanlagen leistungsfähige Programme angeboten.

Durch Differenzialgleichungen lassen sich gewisse physikalische Gesetzmäßigkeiten gut darstellen, z.B. Schwingungs- und Strömungsvorgänge.
Im Folgenden werden einige wichtige Begriffe aus der Theorie der gewöhnlichen Differenzialgleichungen erläutert.

Unbeschränktes und logistisches Wachstum (Differenzialgleichungen)

Eine Population bestehe aus N Individuen. Nach einer Zeit Δ t ist eine Änderung Δ N mit Δ N = N ( t + Δ t ) − N ( t ) des Populationsumfangs N zu verzeichnen. Kann die Population ohne Beschränkung wachsen, so ist die Änderung proportional zum Ausgangsumfang – je mehr Individuen vorhanden sind, desto mehr Nachwuchs stellt sich ein. Es gilt also Δ N ∼ N  oder  Δ N = k N (unbeschränktes Wachstum), wobei k als Wachstumsrate (bei unbeschränktem Wachstum) bezeichnet wird.
Ist das Wachstum durch eine Obergrenze G der Individuenzahl beschränkt, so wird sich bei noch kleiner Individuenzahl ein annähernd unbeschränktes Wachstum einstellen, mit wachsender Zahl N wird die Wachstumsrate jedoch kleiner, um schließlich bei N = G den Wert 0 anzunehmen. Eine Beschränkung kommt beispielsweise zustande, wenn die Population in einem isolierten Gebiet lebt, in dem sich höchstens G Individuen ernähren können.

Die modifizierte Wachstumsrate
k b = k ( 1 − N G )
weist das erwartete Verhalten auf.

Als Differenzengleichung ergibt sich
Δ N = k b ⋅ N = k ⋅ ( 1 − N G ) ⋅ N
(logistisches Wachstum).

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