Positionssysteme

Historisches

Positionssyteme kommen nur in vier Zivilisationen mit geschriebener Sprache vor: in Mesopotamien, in China, in der Mayakultur Zentralamerikas und im alten Indien.

• In Mesopotanien entstand von 2350 bis 2200 v. Chr. das erste große Reich, das Reich der Akkader. Schrift- und Zahlzeichen wurden in Tontafeln in Keilschrift dargestellt. Die Zentralverwaltung rationalisierte und vereinheitlichte die übernommenen Einheitensysteme.
  Nach dem Zusammenbruch des akkadischen Reiches bestand von 2123 bis 2015 v. Chr. ein Zentralstaat, die III. Dynastie von Ur. Jetzt entwickelte sich das Positionssystem der mesopotanischen Mathematik. Es war ein voll entwickeltes Positionssystem mit der Grundzahl 60 und 59 Grundziffern. Ein Zeichen für die Null gab es nicht, die entsprechende Stelle wurde freigelassen. Beispiele: Darstellung der Zahlen
  $\begin{array}{l}2\left(2\cdot {60}^0\right)\\ 2:\uparrow \uparrow \end{array}$,        $\begin{array}{l}61\left(1\cdot {60}^1+1\cdot {60}^0\right)\\ 61:\uparrow \uparrow \end{array}$
• Die Anfänge der Rechenkunst in China reichen weit in die Vorzeit zurück. So soll der legendäre GELBE KAISER drei Dienern folgende Aufträge erteilt haben: Xi He die Beobachtung der Sonne; Chang Yi die Beobachtung des Mondes und Li Shou die Erfindung der Arithmetik.
  Ein Einzelner dürfte indes kaum in der Lage gewesen sein, die Arithmetik zu erfinden. Sicher ist, dass während der SHANG-DYNASTIE (16. bis 11. Jh. v. Chr.) Zeichen für Ziffern verwendet wurden. In der sogenannten Orakelknochenschrift wurden z. B. die Zahlen 1 bis 4 durch waagerechte Striche (übereinander), die Zahl 5 durch X und die Zahl 6 durch $\cap$ dargestellt.
  Die größte auf Orakelknochen eingetragene Zahl ist 30 000, die kleinste 1. Die Einheiten Zehner, Hunderter, Tausender und Zehntausender wurden jeweils durch ein besonderes Zahlzeichen dargestellt.
  Rechnungen wurden im alten China ohne direkte Verwendung der Zahlen ausgeführt, man benutzte Rechenstäbchen. Um Zahlen darzustellen, wurden die Stäbchen entweder horizontal oder vertikal gelegt. Die Einer horizontal, die Zehner vertikal, die Hunderter wieder horizontal usw. Für die Null stand eine Leerstelle. Das Dezimalsystem im eigentlichen Sinne ist dann zwischen 770 und 221 v. Chr. entstanden.
   
• Die Maya sind ein indianisches Volk im Norden Zentralamerikas (Mexiko, Guatemala, Honduras). Mehrere Millionen Indianer sprechen noch heute als Muttersprache eine von etwa 30 Mayasprachen.
  In vorkolumbianischer Zeit verfügten die Maya über eine ausgeprägte Hochkultur (höchstwahrscheinlich beschränkt auf eine dünne Oberschicht), deren Zeugnisse Tempel mit reich geschmückten Fassaden und beeindruckenden Wandgemälden sind. Im 1. Jh. v. Chr. entwickelte sich eine Bilderschrift. Von ihren etwa 750 bekannten Zeichen sind bisher wenig mehr als die Zahlzeichen und Zeitangaben sowie die Namen von Gottheiten und Herrschern entziffert. Bekannt ist, dass die Maya über recht genaue Kalender verfügten. Zahlen von 1 bis 19 werden mit Punkten für Einer und Strichen für Fünfer geschrieben. Für höhere Zahlen bediente man sich eines zusätzlichen Zeichens für 20 und eines Positionssystems mit der Basiszahl 20. Für die unbesetzte Stelle hatte man ein gesondertes Zeichen.
   
• In Indien ist das erste erhalten gebliebene schriftliche Dokument einer (sicher schon Jahrhunderte vorher existierenden) hochentwickelten Kultur aus dem 3. Jh. v. Chr. Es ist in Sanskrit verfasst. Sanskrit beinhaltet ein Dezimalsystem und verfügt über verschiedene Namen für die neun Grundziffern sowie für 10, 100, 1000 und höhere Zehnerpotenzen.
  Ein Positionssystem, dass nur mit den Ziffern 1 bis 9 und der Null auskommt, ist durch einen Bericht von VASUMITRA über das von König KANISHKA (Ende 1. Jh./Anfang 2. Jh. ) einberufene Konzil des Buddhismus erstmals schriftlich dokumentiert. Im Jahre 662 verwies der syrische Autor SEVERUS SEBOKT auf die Leistungen der indischen Wissenschaft. So u. a. auf ihre Fähigkeit, mit nur neun Ziffern und der Null zu rechnen. Von Indien gelangte dieses Zahlsystem über die Araber zu uns. Die moderne Arithmetik hat ihre Wiege also in Indien.

Verschiedene Positionssysteme

In einem Positionssystem mit der Basiszahl b wird eine Zahl durch eine Folge von Grundziffern $a_i$ nach folgendem Prinzip dargestellt:
$a_m{a}_{m-1}{a}_{m-2}\mathrm{...}{a}_2{a}_1{a}_0=a_m\cdot b^m+a_{m-1}\cdot b^{m-1}+\mathrm{...}+a_2\cdot b^2+a_1\cdot b^1+a_0\cdot b^0$
Dabei bestimmt die Basiszahl die Anzahl der benötigten Grundziffern. So sind es im Dezimalsystem 10, im Dualsystem 2, im Oktalsystem 8, im Hexadezimalsystem 16 und im Sexagesimalsystem 60 Grundziffern.