Permanenzprinzip

HERMANN HANKEL formulierte 1867 das Prinzip von der Erhaltung der formalen Rechengesetze. Es besagt, dass bei Erweiterungen eines Zahlenbereiches die Rechengesetze des Ausgangsbereiches nach Möglichkeit auch im erweiterten Bereich gelten sollen. Diese Forderung wird Permanenzprinzip (Permanenz (lat.) – Beharrlichkeit) genannt. Dabei handelt es sich weder um ein Axiom noch um einen Satz mit Beweiskraft, sondern um ein methodologisches Prinzip. Es kann auch nicht erreicht werden, dass alle Gesetze des Ausgangsbereiches im erweiterten Zahlenbereich unverändert gelten.

In der Menge $\mathbb{N}$der natürliche Zahlen folgt für $c\ne 0$ aus $a<b$ stets
$a\cdot c<b\cdot c$ (Monotonie der Multiplikation bezüglich der Kleiner-Relation).
In der Menge $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen gilt dies bekanntlich so nicht mehr.
Aus $a<b$ folgt $a\cdot c<b\cdot c$ nur, wenn $c>0$ (positiv) ist;
für c < 0 (negativ) ergibt sich $a\cdot c>b\cdot c$ (Umkehrung des Relationszeichens).

Zu Zeiten HANKELs war ein mengentheoretischer Aufbau der Zahlenbereiche noch unbekannt. Heute würde man das Permanenzprinzip formulieren als Forderung, dass der neue (erweiterte) Zahlenbereich den alten (Ausgangsbereich) als Teilmenge enthalten muss.