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  5. 3.6.1 Potenzbegriff; Potenzgesetze; Rechnen mit Potenzen
  6. Potenzen, Rechnen

Potenzen, Rechnen

Mithilfe der Potenzgesetze kann man sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlich darstellen. Diese Zahlen werden mit abgetrennten Zehnerpotenzen in der Form
a , b c d ... ⋅ 10 n
dargestellt, wobei für die Zahl a vor dem Komma gilt:
0 < a < 10
Zur Abkürzung der positiven und negativen Zehnerpotenzen gibt es Vorsilben („Vorsätze“) wie z. B. Kilo, Milli, Mikro, die bei vielen Einheiten benutzt werden.

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Für das Rechnen mit Potenzen ( a , b ∈ R ;     a ≠ 0 ;     b ≠ 0 ;     m ,   n ∈ Z ) gelten folgende Gesetze:

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält:
a n ⋅ a m = a n + m

2 5 ⋅ 2 3 = 2 5 + 3 = 2 8 = 256 0,5 3 ⋅ 0,5 2 = 0,5 3 + 2 = 0,5 5 = 0,03125

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält:
a n : a m = a n − m

2 5 : 2 3 = 2 5 − 3 = 2 2 = 4 2 − 3 : 2 5 = 2 − 3 − 5 = 2 − 8 = 1 2 8

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält:
a n ⋅ b n = ( a ⋅ b ) n

2 3 ⋅ 3 3 = ( 2 ⋅ 3 ) 3 = 6 3 = 216 ( − 3 ) 3 ⋅ 2 3 = ( − 3 ⋅ 2 ) 3 = ( − 6 ) 3 = − 216

Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält:
a n : b n = ( a : b ) n   o d e r   a n b n = ( a b ) n

8 2 : 4 2 = ( 8 4 ) 2 = 2 2 = 4 ( − 4 ) 3 : 2 3 = ( − 4 2 ) 3 = ( − 2 ) 3 = − 8

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält:
( a n ) m = a n   ⋅   m

( 2 2 ) 3 = 2 2   ⋅   3 = 2 6 = 64,   a b e r   2 ( 2 3 ) = 2 8 = 256

Abgetrennte Zehnerpotenzen

Mithilfe der Potenzgesetze kann man sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlich darstellen. Man wählt dazu ein Darstellen von Zahlen mit abgetrennten Zehnerpotenzen.

1000 = 10 3 5000 = 5 · 10 3 18 000 = 18 · 10 3 = 1,8 · 10 4
0,1 = 10 − 1 0,0003 = 3 · 10 − 4 0,0018 = 1,8 · 10 − 3

Bei der Darstellung mit abgetrennten Zehnerpotenzen wird die Zahl in der Form
a , b c d ... ⋅ 10 n
dargestellt, wobei für die Zahl a vor dem Komma gilt:
0 < a < 10
Man kommt von dieser Darstellung zu einer Darstellung ohne abgetrennte Zehnerpotenzen, indem man das Komma um n Stellen verschiebt: nach rechts, wenn n positiv ist, und nach links, wenn n negativ ist. Gegebenenfalls sind entsprechend viele Nullen zu ergänzen.

Beispiel: Anweisung
5,287   463 ⋅ 10 5 = Komma um 5 Stellen nach rechts rücken.
5,28 ⋅ 10 − 4 = Komma um 4 Stellen nach links rücken.

So lassen sich z. B. Naturkonstanten übersichtlicher angeben.
Die mittlere Entfernung Sonne - Erde beträgt 1,496 ⋅ 10 8   k m .
Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist 2,997   924 ⋅ 10 8   m ⋅ s − 1 .
Die Gravitationskonstante hat den Wert
6,672   59 ⋅ 10 − 11   m 3 ⋅ k g − 1 ⋅ s − 2 .

Beim Rechnen mit abgetrennten Zehnerpotenzen wendet man die Potenzgesetze und die in R geltenden Gesetzmäßigkeiten und Rechenregeln an.

  • Beim Addieren und Subtrahieren wird das Distributivgesetz angewendet.
    2,8 ⋅ 10 3 + 1,3 ⋅ 10 3 = ( 2,8 + 1,3 ) ⋅ 10 3 = 4,1 ⋅ 10 3
  • Sind beim Addieren und Subtrahieren die Exponenten der abgetrennten Zehnerpotenzen nicht gleich, müssen sie angeglichen werden.
    2,8 ⋅ 10 3 + 1,3 ⋅ 10 2 = 2,8 ⋅ 10 3 + 0,13 ⋅ 10 3 = ( 2,8 + 0,13 ) ⋅ 10 3 = 2,93 ⋅ 10 3 5,62 ⋅ 10 − 4 − 8,03 ⋅ 10 − 5 = 5,62 ⋅ 10 − 4 − 0,803 ⋅ 10 − 4 = 4,817 ⋅ 10 − 4
  • Auch beim Multiplizieren bzw. Dividieren werden die Potenzgesetze angewendet.
    2,8 ⋅ 10 3 ⋅ 1,3 ⋅ 10 3 = 2,8 ⋅ 1,3 ⋅ 10 3 ⋅ 10 3 = 3,64 ⋅ 10 6 = 3   640   000 2,8 ⋅ 10 3 ⋅ 1,3 ⋅ 10 − 8 = 2,8 ⋅ 1,3 ⋅ 10 3 ⋅ 10 − 8 = 3,64 ⋅ 10 − 5 = 0,000   036   4

Zur Abkürzung der positiven und negativen Zehnerpotenzen gibt es Vorsilben („Vorsätze“) wie z. B. Kilo, Milli, Mikro, die bei vielen Einheiten benutzt werden.

  • Schachbrett mit Körnern

    B. Mahler, Fotograf, Berlin

Weitere Beispiele findet man im Berechnungstool.
Dabei können die Ausgangswerte beliebig verändert werden.

Potenzen wachsen sehr schnell. Dafür seien zwei Beispiele gegeben:

  • Die größte Zahl die man mit drei Ziffern schreiben kann ist 9 9 9 .
    Diese Zahl hat 396 693 100 Ziffern.

  • Vom Erfinder des Schachspiels gibt es folgende Anekdote:
    Er erbat sich als Belohnung auf das 1. Feld ein Weizenkorn, auf das 2. Feld zwei Weizenkörner und auf jedes weitere Feld immer die doppelte Anzahl der Körner des vorhergehenden (Bild 1). Dies führt bei 64 Feldern zu der Gesamtmenge von 2 64 − 1 Körnern. Rechnet man ein Korn zu einem Gramm, so sind dies rund 1,8 ⋅ 10 13   t Weizen. (Die Weltgetreideproduktion 1993 betrug 1,8 ⋅ 10 9   t . Das heißt, man würde 1,8 ⋅ 10 13 : 1,8 ⋅ 10 9 = 10 4 = 10   000 Ernten von 1993 benötigen. So viel Getreide ist auf der Welt noch nicht geerntet worden.)
  • BWS-MAT1-0240-03.mcd (24.11 KB)
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Potenzen, Rechnen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/potenzen-rechnen (Abgerufen: 19. May 2025, 20:17 UTC)

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Pythagoras

PYTHAGORAS VON SAMOS (etwa 580 bis etwa 500 v. Chr.), griechischer Philosoph und Mathematiker

PYTHAGORAS vertrat als Philosoph die mystische Lehre von der Zahl als Urprinzip aller Dinge und von der harmonischen Ordnung als höchstes kosmologisches Gesetz. Seine Lehren sind schwer zu trennen von den Auffassungen des Geheimbundes der Pythagoreer.
Der Satz des Pythagoras kann wohl als bekanntester Satz der (Schul-)Mathematik bezeichnet werden.

Allgemeine Wurzelfunktionen

Funktionen mit Gleichungen der Form   y = f ( x ) = x m n   ( x ≥ 0 ;       m ,   n ∈ ℕ ;     m ≥ 1 ;     n ≥ 2 )
heißen Wurzelfunktionen.
Wurzelfunktionen sind spezielle Potenzfunktionen, wenn man als Exponenten nicht nur ganze Zahlen, sondern auch gebrochene Zahlen zulässt:
  x m n = x m n   ( x ≥ 0 ;     m ,   n ∈ ℕ ;     m ≥ 1 ;     n ≥ 2 )
Als Wurzelfunktionen bezeichnet man im weiteren Sinne ebenfalls alle Funktionen, in deren Funktionsterm das Argument x als Bestandteil eines Wurzelradikanden auftritt, z. B. also:
  f ( x ) = x − 2 4 ,     g ( x ) = 5 4 − x 3

Spezielle Wurzelfunktion

Besonders häufig treten Funktionen mit Gleichungen der Form y = f ( x ) = x 2 = x auf. Die Funktion f ( x ) = x ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu y = g ( x ) = x 2 , jedoch nur für x ≥ 0 , da die Gleichung g ( x ) = x 2 keine umkehrbar eindeutige (eineindeutige) Zuordnung beschreibt.

Wurzelgleichungen

Eine Gleichung heißt Wurzelgleichung, wenn die Variable im Radikanden auftritt.
Wenn es sich beim Lösen von Gleichungen um Quadratwurzeln handelt, ist es oftmals möglich, diese Wurzeln durch einmaliges oder mehrfaches Quadrieren zu beseitigen. Allerdings muss das Ergebnis unbedingt überprüft werden, da das Quadrieren keine äquivalente Umformung ist.

Bruchterme, Rechnen

Ein Term wird Bruchterm genannt, wenn sein Nenner eine (freie) Variable enthält.
Eine Gleichung bzw. Ungleichung wird Bruchgleichung bzw. Bruchungleichung genannt, wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält.
Der Definitionsbereich eines Bruchterms mit einer Variablen ist die Menge aller Zahlen, für die der Term nach ihrem Einsetzen in die Variable definiert ist. Der Definitionsbereich einer Bruchgleichung ist entsprechend die Menge aller Zahlen, für die alle Bruchterme der Bruchgleichung definiert sind.
Ein Bruchterm ist genau dann null, wenn der Zähler null und der Nenner nicht null ist.

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