Potenzen, Rechnen

Für das Rechnen mit Potenzen $\left(a,b\in R;a\ne 0;b\ne 0;m,n\in Z\right)$ gelten folgende Gesetze:

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält:
$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält:
$a^n:a^m=a^{n-m}$

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält:
$a^n\cdot b^n={\left(a\cdot b\right)}^n$

Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält:
$a^n:b^n={\left(a:b\right)}^{n}oder\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält:
${\left(a^n\right)}^m=a^{n\cdot m}$

Abgetrennte Zehnerpotenzen

Mithilfe der Potenzgesetze kann man sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlich darstellen. Man wählt dazu ein Darstellen von Zahlen mit abgetrennten Zehnerpotenzen.

Bei der Darstellung mit abgetrennten Zehnerpotenzen wird die Zahl in der Form
$a,bcd\mathrm{...}\cdot {10}^n$
dargestellt, wobei für die Zahl a vor dem Komma gilt:
0 < a < 10
Man kommt von dieser Darstellung zu einer Darstellung ohne abgetrennte Zehnerpotenzen, indem man das Komma um n Stellen verschiebt: nach rechts, wenn n positiv ist, und nach links, wenn n negativ ist. Gegebenenfalls sind entsprechend viele Nullen zu ergänzen.

So lassen sich z. B. Naturkonstanten übersichtlicher angeben.
Die mittlere Entfernung Sonne - Erde beträgt $\mathrm{1,496}\cdot {10}^{8}km.$
Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist $\mathrm{2,997}924\cdot {10}^{8}m\cdot s^{-1}$.
Die Gravitationskonstante hat den Wert
$\mathrm{6,672}59\cdot {10}^{-11}{m}^3\cdot k{g}^{-1}\cdot s^{-2}.$

Beim Rechnen mit abgetrennten Zehnerpotenzen wendet man die Potenzgesetze und die in R geltenden Gesetzmäßigkeiten und Rechenregeln an.

• Beim Addieren und Subtrahieren wird das Distributivgesetz angewendet.
  $\mathrm{2,8}\cdot {10}^3+\mathrm{1,3}\cdot {10}^3=\left(\mathrm{2,8}+\mathrm{1,3}\right)\cdot {10}^3=\mathrm{4,1}\cdot {10}^3$
• Sind beim Addieren und Subtrahieren die Exponenten der abgetrennten Zehnerpotenzen nicht gleich, müssen sie angeglichen werden.
  $\begin{array}{l}\mathrm{2,8}\cdot {10}^3+\mathrm{1,3}\cdot {10}^2=\mathrm{2,8}\cdot {10}^3+\mathrm{0,13}\cdot {10}^3\\ =\left(\mathrm{2,8}+\mathrm{0,13}\right)\cdot {10}^3=\mathrm{2,93}\cdot {10}^3\\ \\ \mathrm{5,62}\cdot {10}^{-4}-\mathrm{8,03}\cdot {10}^{-5}=\mathrm{5,62}\cdot {10}^{-4}-\mathrm{0,803}\cdot {10}^{-4}\\ =\mathrm{4,817}\cdot {10}^{-4}\end{array}$
• Auch beim Multiplizieren bzw. Dividieren werden die Potenzgesetze angewendet.
  $\begin{array}{l}\mathrm{2,8}\cdot {10}^3\cdot \mathrm{1,3}\cdot {10}^3=\mathrm{2,8}\cdot \mathrm{1,3}\cdot {10}^3\cdot {10}^3=\mathrm{3,64}\cdot {10}^6=3640000\\ \mathrm{2,8}\cdot {10}^3\cdot \mathrm{1,3}\cdot {10}^{-8}=\mathrm{2,8}\cdot \mathrm{1,3}\cdot {10}^3\cdot {10}^{-8}=\mathrm{3,64}\cdot {10}^{-5}=\mathrm{0,000}0364\end{array}$

Zur Abkürzung der positiven und negativen Zehnerpotenzen gibt es Vorsilben („Vorsätze“) wie z. B. Kilo, Milli, Mikro, die bei vielen Einheiten benutzt werden.

Weitere Beispiele findet man im Berechnungstool.
Dabei können die Ausgangswerte beliebig verändert werden.

Potenzen wachsen sehr schnell. Dafür seien zwei Beispiele gegeben:

• Die größte Zahl die man mit drei Ziffern schreiben kann ist $9^{9^9}.$
  Diese Zahl hat 396 693 100 Ziffern.
  
  
• Vom Erfinder des Schachspiels gibt es folgende Anekdote:
  Er erbat sich als Belohnung auf das 1. Feld ein Weizenkorn, auf das 2. Feld zwei Weizenkörner und auf jedes weitere Feld immer die doppelte Anzahl der Körner des vorhergehenden (Bild 1). Dies führt bei 64 Feldern zu der Gesamtmenge von $2^{64}-1$ Körnern. Rechnet man ein Korn zu einem Gramm, so sind dies rund $\mathrm{1,8}\cdot {10}^{13}t$ Weizen. (Die Weltgetreideproduktion 1993 betrug $\mathrm{1,8}\cdot {10}^{9}t.$ Das heißt, man würde $\mathrm{1,8}\cdot {10}^{13}:\mathrm{1,8}\cdot {10}^9={10}^4=10000$ Ernten von 1993 benötigen. So viel Getreide ist auf der Welt noch nicht geerntet worden.)