Bruchterme, Rechnen

Ein Term wird Bruchterm genannt, wenn sein Nenner eine (freie) Variable enthält.
Eine Gleichung bzw. Ungleichung wird Bruchgleichung bzw. Bruchungleichung genannt, wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält.
Der Definitionsbereich eines Bruchterms mit einer Variablen ist die Menge aller Zahlen, für die der Term nach ihrem Einsetzen in die Variable definiert ist. Der Definitionsbereich einer Bruchgleichung ist entsprechend die Menge aller Zahlen, für die alle Bruchterme der Bruchgleichung definiert sind.

Ein Bruchterm ist genau dann null, wenn der Zähler null und der Nenner nicht null ist.

Gleichnamige Bruchterme werden addiert bzw. subtrahiert, indem die Zähler addiert bzw. subtrahiert werden und der gemeinsame Nenner beibehalten wird.

Kurz:
$\begin{array}{l}\frac{{\text{Z}}_{\text{1}}}{\text{N}}+\frac{{\text{Z}}_{\text{2}}}{\text{N}}=\frac{{\text{Z}}_{\text{1}}+{\text{Z}}_{\text{2}}}{\text{N}}\left(\text{N}\ne \text{0}\right)\text{bzw}\text{.}\\ \frac{{\text{Z}}_{\text{1}}}{\text{N}}-\frac{{\text{Z}}_{\text{2}}}{\text{N}}=\frac{{\text{Z}}_{\text{1}}-{\text{Z}}_{\text{2}}}{\text{N}}\left(\text{N}\ne \text{0}\right)\end{array}$

Beispiele:
$\begin{array}{l}\frac{\text{3a}}{\text{xy}}+\frac{\text{7a}}{\text{xy}}=\frac{\text{3a}+\text{7a}}{\text{xy}}=\frac{\text{10a}}{\text{xy}}\left(\text{x}\text{,}\text{y}\ne \text{0}\right)\\ \frac{\text{8b}}{\text{cd}}-\frac{\text{12b}}{\text{cd}}=\frac{\text{8b}-\text{12b}}{\text{cd}}=-\frac{\text{4b}}{\text{cd}}\left(\text{c}\text{,}\text{d}\ne \text{0}\right)\end{array}$

Erweitern eines Bruchterms bedeutet, z. B. Zähler und Nenner mit demselben Term zu multiplizieren.
Kurz: $\frac{\text{Z}}{\text{N}}=\frac{\text{Z}\cdot \text{F}}{\text{N}\cdot \text{F}}\left(\text{N}\text{, F}\ne \text{0}\right)$

Beispiel:
$\begin{array}{l}\frac{\text{2}}{\text{b}}\left(\text{b}\ne \text{0}\right)\text{erweitern}\text{mit}\text{a}+\text{1}\left(\text{a}\ne -\text{1}\right)\\ \frac{\text{2}}{\text{b}}=\frac{\text{2}\left(\text{a}+\text{1}\right)}{\text{b}\left(\text{a}+\text{1}\right)}=\frac{\text{2a}+\text{2}}{\text{ab}+\text{b}}\end{array}$

Kürzen eines Bruchterms bedeutet, Zähler und Nenner durch denselben Term zu dividieren.
Kurz: $\frac{\text{Z}\cdot \text{F}}{\text{N}\cdot \text{F}}=\frac{\text{Z}}{\text{N}}\left(\text{N}\text{,}\text{F}\ne \text{0}\right)$

Beispiel:
$\frac{\text{5ab}}{\text{b}}=\frac{\text{5a}}{\text{1}}=\text{5a}\left(\text{b}\ne \text{0}\right)$

Beim Erweitern und Kürzen kann sich die Definitionsmenge ändern.
Man multipliziert zwei Bruchterme, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
Kurz: $\frac{{\text{Z}}_{\text{1}}}{{\text{N}}_{\text{1}}}\cdot \frac{{\text{Z}}_{\text{2}}}{{\text{N}}_{\text{2}}}=\frac{{\text{Z}}_{\text{1}}\cdot {\text{Z}}_{\text{2}}}{{\text{N}}_{\text{1}}\cdot {\text{N}}_{\text{2}}}\left({\text{N}}_{\text{1}}\text{,}{\text{N}}_{\text{2}}\ne \text{0}\right)$

Beispiel:
$\frac{\text{5a}}{\text{4y}}\cdot \frac{\text{7x}}{\text{10b}}=\frac{\text{5a}\cdot \text{7x}}{\text{4y}\cdot \text{10b}}=\frac{\text{7ax}}{\text{8by}}\left(\text{b}\text{,}\text{y}\ne \text{0}\right)$

Man dividiert durch einen Bruchterm, indem man mit seinem Kehrterm multipliziert.
Kurz: $\frac{{\text{Z}}_{\text{1}}}{{\text{N}}_{\text{1}}}\text{:}\frac{{\text{Z}}_{\text{2}}}{{\text{N}}_{\text{2}}}=\frac{{\text{Z}}_{\text{1}}\cdot {\text{N}}_{\text{2}}}{{\text{N}}_{\text{1}}\cdot {\text{Z}}_{\text{2}}}\left({\text{N}}_{\text{1}}\text{,}{\text{N}}_{\text{2}}\text{,}{\text{Z}}_{\text{2}}\ne \text{0}\right)$

Beispiel:
$\frac{\text{5}}{\text{3y}}\text{:}\frac{\text{35x}}{\text{12z}}=\frac{\text{5}\cdot \text{12z}}{\text{3y}\cdot \text{35x}}=\frac{\text{4z}}{\text{7xy}}\left(\text{x}\text{,}\text{‌}\text{y}\text{,}\text{z}\ne \text{0}\right)$