Ungleichungen, Äquivalentes Umformen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen <, >, $\leq$ , $\geq$ oder $\neq$ steht, bilden eine Ungleichung.

Äquivalenzumformungen von Ungleichungen

Das Addieren und das Subtrahieren derselben rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
Das Addieren und das Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Ungleichung
Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer positiven rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer negativen rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung mit gleichzeitigem Umdrehen des Relationszeichens
(Aus < wird >, aus $\leq$ wird $\geq$ und umgekehrt.)

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen <, >, $\leq$ , $\geq$ , oder $\neq$ steht, bilden eine Ungleichung.

Das Zeichen $\leq$ ist zusammengesetzt aus „<“ und „=“. Es bedeutet „ist kleiner oder gleich“.
Das Zeichen $\geq$ ist zusammengesetzt aus „>“ und „=“.
Es bedeutet „ist größer oder gleich“.

Beispiel:
8 $\leq$ 15 bedeutet 8 < 15 oder 8 = 15.
8 < 15 ist eine wahre Aussage. 8 = 15 ist eine falsche Aussage.
Die erste der beiden Teilaussagen ist wahr. Deshalb ist 8 $\leq$ 15 eine wahre Aussage.

Darstellung der Lösungsmenge einer Ungleichung

Beispiel:
Gesucht ist die Lösungsmenge der Ungleichung x + 9 < 15 für x $\in$ $ℕ$ .

Die Lösungsmenge kann in Worten beschrieben werden:
Die Lösungsmenge der Ungleichung besteht aus allen natürlichen
Zahlen, die kleiner sind als 6.
Die Lösungsmenge kann in der Mengenschreibweise dargestellt werden:
$L = {0; 1; 2; 3; 4; 5}$
Die Lösungsmenge kann auf der Zahlengeraden veranschaulicht werden:

Äquivalenzumformungen von Ungleichungen

Das Addieren und das Subtrahieren derselben rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
Das Addieren und das Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Ungleichung
Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer positiven rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer negativen rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung mit gleichzeitigem Umdrehen des Relationszeichens
(Aus < wird >, aus $\leq$ wird $\geq$ und umgekehrt.)

$\begin{array}{l} 4 (x + 5) + 4 x \leq 4 (4 x - 1) + 18 \\ 4 x + 20 + 4 x \leq 16 x - 4 + 18 \\ 8 x + 20 \leq 16 x + 14 | - 16 x \\ - 8 x + 20 \leq 14 | - 20 \\ - 8 x \leq - 6 | : (- 8) \\ x \geq \frac{3}{4} \end{array}$

Stand: 2010
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