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Proben

Unter einer Probe versteht man die Überprüfung des erhaltenen Ergebnisses u. a. durch

  • das Einsetzen der Lösungen in die Ausgangsgleichung,
  • das Prüfen der Lösungen am Aufgabentext,
  • das Ausführen der Umkehroperationen,
  • das Nutzen von Rechenregeln (z. B. Teilbarkeitsregeln) oder
  • das grafische Lösen einer numerischen Aufgabe.

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Unter einer Probe versteht man die Überprüfung des erhaltenen Ergebnisses u. a. durch

  • das Einsetzen der Lösungen in die Ausgangsgleichung,
  • das Prüfen der Lösungen am Aufgabentext,
  • das Ausführen der Umkehroperationen,
  • das Nutzen von Sätzen (z. B. Satz von Vieta),
  • das Nutzen von Rechenregeln (z. B. Teilbarkeitsregeln) oder
  • das grafische Lösen einer numerischen Aufgabe.

Beispiel 1:
Gesucht ist die Lösung der Gleichung x + (5 + 3x) = 29 für G = ℚ .
           x + (5 + 3x) = 29
              x + 5 + 3x = 29
                    4x + 5 = 29
                          4x = 24
                            x = 6
                            L = {6}

Probe:
linke Seite: 6 + (5 + 3 6) = 6 + 23 = 29
rechte Seite: 29
Vergleich: 29 = 29; wahre Aussage, d. h. x = 6; L = {6}.

Beispiel 2:
In einer Schule sind 15-mal so viele Schüler wie Lehrer. Zusammen sind es 544 Personen. Wie viele Schüler und Lehrer sind an der Schule?

Anzahl der Lehrer: x              Anzahl der Schüler: 15x

          x + 15x = 544
                16x = 544
                    x = 34
                    L = {34}, da G = ℕ

Probe am Text:
34 Lehrer und 510 Schüler sind zusammen 544 Personen.
Antwort:
An der Schule sind 510 Schüler und 34 Lehrer.

Beispiel 3:
Gesucht ist die Lösung der Gleichung 4x + 16 = 48.
4   x + 16 = 48         4   x = 32         x = 8

Probe durch Rückwärtsarbeiten:
          4 ⋅ 8 = 32 32 + 16 = 48

Beispiel 4:
Gesucht sind die Lösungen der Gleichung x 2 – 12x + 32 = 0 .
x 2 – 12x + 32 = 0 x 1;2 = − p 2 ± p 2 4 − q x 1;2 = 6 ± 36 − 32 x 1;2 = 6 ± 2 x 1 = 8     x 2 = 4     L = {   8;   4   }
Probe mithilfe des Satzes von Vieta:
  x 1 + x 2 = −   p             x 1 ⋅ x 2 = q   8 + 4 = 12 ⇒ p = – 12               8 ⋅ 4 = 32 ⇒ q = 32

Beispiel 5:
7146 : 9 = 794
Erster Schritt innerhalb der Probe mithilfe der Teilbarkeitsregel:
Die Quersumme von 7146 ist 18, 18 ist durch 9 teilbar.

Beispiel 6:
Gesucht ist die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
I             2 x − y = – 1   |   ⋅ ( – 1 ) I I             2 x + 2 y = 8 I a         − 2 x + y = 1 I I               2 x + 2 y = 8 I a + I I                 3 y = 9   |   : 3     y = 3   i n   I I :     2 x + 2 ⋅ 3 = 8             y = 3                           x = 1 L = {   ( 1   ;   3 )   }
Die Lösung des linearen Gleichungssystems entspricht den Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen der entsprechenden Funktionsgleichungen.

Graphen der Funktionen y = 2x + 1 und y = –x + 4

 

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Proben." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/proben (Abgerufen: 20. May 2025, 12:42 UTC)

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Polynomdivision

Der Fundamentalsatz der Algebra sagt aus, dass eine Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen hat. Er sagt nichts darüber, wie man diese Lösungen finden kann. Es gibt keine allgemeingültige Lösungsformel!

Wenn diese Lösungen alle in der Menge der reellen Zahlen liegen, so kann das Polynom als Produkt von Linearfaktoren dargestellt werden. Ein Polynom 2. Grades kann in der Form ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) dargestellt werden, worin x 1 und x 2 die Wurzeln des Polynoms, d. h. die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0 sind. Das Polynom 2. Grades lässt sich also ohne Rest durch ( x − x 1 ) teilen.
Diese Aussage gilt auch für Polynome höheren Grades.

Quadratische Gleichungen, Lösungsformel

Die Gleichung zur Berechnung der beiden Lösungen x 1  und  x 2 der quadratischen Gleichung aus den Parametern p und q heißt Lösungsformel einer quadratischen Gleichung in der Normalform.
Der Term ( p 2 ) 2 − q heißt Diskriminante der quadratischen Gleichung.

Francois Vieta

FRANÇOIS VIÈTE (1540 bis 1603), französischer Mathematiker
* 1540 in Fontenay-le-Comte
† 13. Dezember 1603 in Paris

FRANÇOIS VIÈTE arbeitete auf den Gebieten der Trigonometrie und Gleichungslehre.
Unter anderem beschäftigte er sich mit der Berechnung der Kreiszahl π . Zu seinen Verdiensten gehört die Einführung von Buchstaben als allgemeine Zahlzeichen.

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