Proben

Unter einer Probe versteht man die Überprüfung des erhaltenen Ergebnisses u. a. durch

• das Einsetzen der Lösungen in die Ausgangsgleichung,
• das Prüfen der Lösungen am Aufgabentext,
• das Ausführen der Umkehroperationen,
• das Nutzen von Sätzen (z. B. Satz von Vieta),
• das Nutzen von Rechenregeln (z. B. Teilbarkeitsregeln) oder
• das grafische Lösen einer numerischen Aufgabe.

Beispiel 1:
Gesucht ist die Lösung der Gleichung x + (5 + 3x) = 29 für G = $\mathbb{Q}$.
           x + (5 + 3x) = 29
              x + 5 + 3x = 29
                    4x + 5 = 29
                          4x = 24
                            x = 6
                            L = {6}

Probe:
linke Seite: 6 + (5 + 3 6) = 6 + 23 = 29
rechte Seite: 29
Vergleich: 29 = 29; wahre Aussage, d. h. x = 6; L = {6}.

Beispiel 2:
In einer Schule sind 15-mal so viele Schüler wie Lehrer. Zusammen sind es 544 Personen. Wie viele Schüler und Lehrer sind an der Schule?

Anzahl der Lehrer: x              Anzahl der Schüler: 15x

          x + 15x = 544
                16x = 544
                    x = 34
                    L = {34}, da G = $\mathbb{N}$

Probe am Text:
34 Lehrer und 510 Schüler sind zusammen 544 Personen.
Antwort:
An der Schule sind 510 Schüler und 34 Lehrer.

Beispiel 3:
Gesucht ist die Lösung der Gleichung 4x + 16 = 48.
$\begin{array}{l}\text{4}\text{x}+\text{16}=\text{48}\\ \text{4}\text{x}=\text{32}\\ \text{x}=\text{8}\end{array}$

Probe durch Rückwärtsarbeiten:
$\begin{array}{l}\text{4}\cdot \text{8}=\text{32}\\ \text{32}+\text{16}=\text{48}\end{array}$

Beispiel 4:
Gesucht sind die Lösungen der Gleichung ${\text{x}}^{\text{2}}\text{– 12x}+\text{32}=\text{0}$.
$\begin{array}{l}{\text{x}}^{\text{2}}\text{– 12x}+\text{32}=\text{0}\\ {\text{x}}_{\text{1;2}}=-\frac{\text{p}}{\text{2}}\pm \sqrt{\frac{{\text{p}}^{\text{2}}}{\text{4}}-\text{q}}\\ {\text{x}}_{\text{1;2}}=\text{6}\pm \sqrt{\text{36}-\text{32}}\\ {\text{x}}_{\text{1;2}}=\text{6}\pm \text{2}\\ {\text{x}}_{\text{1}}=\text{8}{\text{x}}_{\text{2}}=\text{4}\text{L}=\left\{\text{8;}\text{4}\right\}\end{array}$
Probe mithilfe des Satzes von Vieta:
$\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-p{x}_1\cdot x_2=q\\ 8+4=12\Rightarrow p=–128\cdot 4=32\Rightarrow q=32\end{array}$

Beispiel 5:
7146 : 9 = 794
Erster Schritt innerhalb der Probe mithilfe der Teilbarkeitsregel:
Die Quersumme von 7146 ist 18, 18 ist durch 9 teilbar.

Beispiel 6:
Gesucht ist die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:
$\begin{array}{l}I2x-y=–1|\cdot \left(–1\right)\\ II2x+2y=8\\ Ia-2x+y=1\\ II2x+2y=8\\ Ia+II3y=9|:3y=3inII:2x+2\cdot 3=8\\ y=3x=1\\ L=\left\{(1;3)\right\}\end{array}$
Die Lösung des linearen Gleichungssystems entspricht den Koordinaten des Schnittpunktes der Graphen der entsprechenden Funktionsgleichungen.