Äquivalenzumformungen

Addition und Subtraktion heben sich gegenseitig auf.

Beispiele:
$\begin{array}{l}\text{x}+\text{6}=\text{14}|-\text{6}\text{, da}\text{Summe}\\ \text{x}+\text{6}-\text{6}=\text{14}-\text{6}\\ x=8\\ L=\left\{8\right\}\\ \\ \text{x}-\text{7}=\text{9}|+\mathrm{7,}\text{ da}\text{Differenz}\\ x-7+7=9+7\\ x=16\\ L=\left\{16\right\}\end{array}$

Multiplikation und Division heben sich gegenseitig auf.

Beispiele:
$\begin{array}{l}\text{4}\cdot \text{x}=\text{28}|\text{:4}\text{,}\text{da}\text{Produkt}\\ \text{4}\cdot \text{x}\text{:4}=\text{28}\text{:}\text{4}\\ \text{x}=\text{7}\\ \text{L}=\left\{7\right\}\\ \\ \frac{\text{x}}{\text{3}}=\text{4}|\cdot \text{3}\text{,}\text{da}\text{Quotient}\\ \frac{\text{x}}{\text{3}}\cdot \text{3}=\text{4}\cdot \text{3}\\ x=12\\ L=\left\{12\right\}\end{array}$

Bei komplizierten Gleichungen sind mehrere dieser Umformungsregeln nacheinander anzuwenden.

Treten in der Gleichung Klammern auf, so werden diese vor den weiteren Umformungen aufgelöst.
Wenn die Variable auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt, muss man vor dem Isolieren erst ordnen, damit alle Terme mit der Variablen auf einer Seite der Gleichung stehen.
Treten in der Gleichung Summen mit Variablen oder Summen von Zahlen auf, so werden diese vor dem Ordnen zusammengefasst.

Beispiel:
$\begin{array}{l}G=\mathbb{N}\\ \text{4}\text{x}-\left(\text{3}\text{x}+\text{2}\right)=\text{3}\text{x}-\text{7}|\text{Klammern}\text{auflösen}\\ \text{4}\text{x}-\text{3}\text{x}-\text{2}=\text{3}\text{x}-\text{7}|\text{zusammenfassen}\\ \text{x}-\text{2}=\text{3}\text{x}-\text{7}|\text{+ 7}\text{,}\text{da}\text{Differenz}\\ \text{x}+\text{5}=\text{3}\text{x}|–\text{x}\text{,}\text{da Summe}\\ \text{5}=\text{2}\text{x}|\text{:2}\text{,}\text{da Produkt}\\ \text{x}=\frac{\text{5}}{\text{2}}\\ \text{L}=\left\{\right\}\text{,}\text{ da}\text{x}=\frac{\text{5}}{\text{2}}\notin \mathbb{N}\end{array}$