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  5. 5.3.1 Begriff Äquivalenz
  6. Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen

Gleichungen bzw. Ungleichungen mit demselben Grundbereich, die die gleiche Lösungsmenge haben, heißen zueinander äquivalent.

Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn

  • die Seiten einer Gleichung vertauscht werden,
  • auf beiden Seiten einer Gleichung derselbe Term addiert oder subtrahiert wird,
  • beide Seiten einer Gleichung mit demselben Term multipliziert werden,
  • beide Seiten einer Gleichung durch denselben Term dividiert werden.

Beim Multiplizieren bzw. Dividieren mit einem bzw. durch einen Term darf dieser für keine Zahl aus der Grundmenge den Wert null annehmen.

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Gleichungen mit demselben Grundbereich, welche die gleiche Lösungsmenge haben, heißen zueinander äquivalent.

Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn

  • die Seiten einer Gleichung vertauscht werden,
  • auf beiden Seiten einer Gleichung derselbe Term addiert oder subtrahiert wird,
  • beide Seiten einer Gleichung mit demselben Term multipliziert werden,
  • beide Seiten einer Gleichung durch denselben Term dividiert werden.

Beim Multiplizieren bzw. Dividieren mit einem bzw. durch einen Term darf dieser für keine Zahl aus der Grundmenge den Wert null annehmen.

Umformungen von Gleichungen mithilfe dieser Regeln heißen auch Äquivalenzumformungen, da sich die Lösungsmenge der Gleichungen dabei nicht ändert.

Es ist üblich, die auf beiden Seiten auszuführende Operation rechts neben der Gleichung nach einem senkrechten Strich zu notieren.
Mithilfe der Umformungsregeln kann man die Gleichungen rein formal lösen, indem sie so lange gezielt umgeformt werden, bis die Variable allein auf einer Seite steht. Man sagt, die Variable wird isoliert.

Um eine geeignete Umformung zum Isolieren der Variablen zu finden, untersucht man zuerst die Struktur der Terme mit der Variablen.
Dann bestimme man die geeigneten Rechenoperationen, mit denen die Variable isoliert werden kann. Genutzt werden dabei die Eigenschaften zueinander entgegengesetzter Rechenoperationen.

  • BWS-MAT1-0498-01.pdf (59.46 KB)

Addition und Subtraktion heben sich gegenseitig auf.

Beispiele:
          x + 6 = 14     |   − 6 , da   Summe       x + 6 − 6 = 14 − 6                                 x = 8                                           L = { 8 }                               x − 7 = 9     |   + 7,  da   Differenz     x − 7 + 7 = 9 + 7                       x   =   16                         L = { 16 }

Multiplikation und Division heben sich gegenseitig auf.

Beispiele:
        4 ⋅ x = 28     |   :4 ,   da   Produkt       4 ⋅ x   :4 = 28   :   4                         x = 7                             L = { 7 }                               x 3 = 4     |   ⋅ 3 ,   da   Quotient         x 3 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3                   x = 12                 L = { 12 }

Bei komplizierten Gleichungen sind mehrere dieser Umformungsregeln nacheinander anzuwenden.

Treten in der Gleichung Klammern auf, so werden diese vor den weiteren Umformungen aufgelöst.
Wenn die Variable auf beiden Seiten der Gleichung vorkommt, muss man vor dem Isolieren erst ordnen, damit alle Terme mit der Variablen auf einer Seite der Gleichung stehen.
Treten in der Gleichung Summen mit Variablen oder Summen von Zahlen auf, so werden diese vor dem Ordnen zusammengefasst.

Beispiel:
G = ℕ 4   x − ( 3   x + 2 ) = 3   x − 7   |   Klammern   auflösen       4   x − 3   x − 2 = 3   x − 7   |   zusammenfassen           x − 2 = 3   x − 7   |   + 7 ,   da   Differenz           x + 5 = 3   x         |   – x ,   da Summe               5 = 2   x         |   :2 ,   da Produkt               x = 5 2               L = { } ,    da   x = 5 2 ∉ ℕ

  • BWS-MAT1-0498-02.xls (142.5 KB)
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Äquivalenzumformungen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/aequivalenzumformungen (Abgerufen: 20. May 2025, 17:08 UTC)

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  • äquivalent zueinander
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Bruchgleichungen, Lösen

Ein Term wird Bruchterm genannt, wenn sein Nenner eine Variable enthält.
Eine Gleichung bzw. Ungleichung wird Bruchgleichung bzw. Bruchungleichung genannt, wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält.

Bruchgleichungen lassen sich folgendermaßen lösen:

  1. Es wird der Hauptnenner der Bruchgleichung z. B. durch
    Primfaktorzerlegung oder durch Faktorisierung bestimmt.
  2. Beide Seiten der Bruchgleichung werden mit dem Hauptnenner multipliziert.
  3. Auf beiden Seiten werden die Brüche gekürzt.
  4. Die neue Gleichung wird mit den bekannten Schritten für
    äquivalentes Umformen gelöst.
  5. Es muss geprüft werden, ob die Lösung der neuen Gleichung auch zur Definitionsmenge der Bruchgleichung gehört.

Gleichungen, grafisches Lösen

Gleichungen, für die exakte Lösungsverfahren nicht bekannt oder zu zeitaufwändig sind, lassen sich oft mit hinreichender Genauigkeit grafisch lösen. Dabei geht man von der zu lösenden Bestimmungsgleichung zur entsprechenden Funktionsgleichung über, stellt (unter Verwendung eines Taschenrechners) eine Wertetabelle auf und zeichnet den Graphen der Funktion. Die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse, also die Nullstellen, sind die Lösungen der Gleichung. Man liest sie näherungsweise ab. Die Genauigkeit beim Ablesen kann verbessert werden, wenn die Funktion in einem immer engeren Intervall um die Nullstelle herum dargestellt wird.

Gleichungen, Inhaltliches Lösen

Das Lösen von Gleichungen (Ungleichungen) gelingt oftmals durch einfache Überlegungen ohne Anwendung formaler Regeln. Man spricht dann vom inhaltlichen Lösen einer Gleichung (Ungleichung) im Unterschied zum kalkülmäßigen Lösen (Anwenden von Lösungsverfahren).
Zu den Verfahren des inhaltlichen Lösens einer Gleichung (Ungleichung) zählt man im Allgemeinen das Zerlegen von Termen und Zahlen, das Einsetzen bzw. das systematische Probieren, das Rückwärtsschließen und das Schließen unter Benutzung von Veranschaulichungen.

Intervalle

Eine Menge reeller Zahlen nennt man Intervall, wenn sie sich auf der Zahlengeraden als Strecke darstellen lässt.
Gehören die Randwerte mit zum Intervall, spricht man von einem abgeschlossenen Intervall, gehören sie nicht zur dargestellten Menge, spricht man von einem offenen Intervall.

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