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Gleichungen, grafisches Lösen

Gleichungen, für die exakte Lösungsverfahren nicht bekannt oder zu zeitaufwändig sind, lassen sich oft mit hinreichender Genauigkeit grafisch lösen. Dabei geht man von der zu lösenden Bestimmungsgleichung zur entsprechenden Funktionsgleichung über, stellt (unter Verwendung eines Taschenrechners) eine Wertetabelle auf und zeichnet den Graphen der Funktion. Die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse, also die Nullstellen, sind die Lösungen der Gleichung. Man liest sie näherungsweise ab. Die Genauigkeit beim Ablesen kann verbessert werden, wenn die Funktion in einem immer engeren Intervall um die Nullstelle herum dargestellt wird.

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Gleichungen, für die exakte Lösungsverfahren nicht bekannt oder zu zeitaufwändig sind, lassen sich oft mit hinreichender Genauigkeit grafisch lösen.

Dabei geht man von der zu lösenden Bestimmungsgleichung zur entsprechenden Funktionsgleichung über, stellt (unter Verwendung eines Taschenrechners) eine Wertetabelle auf und zeichnet den Graphen der Funktion. Die Abszissen der Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse, also die Nullstellen, sind die Lösungen der Gleichung. Man liest sie näherungsweise ab. Die Genauigkeit beim Ablesen kann verbessert werden, wenn die Funktion in einem immer engeren Intervall um die Nullstelle herum dargestellt wird.

Beispiel :
Gesucht sind die Lösungen der Gleichung 10 0,1 x − sin x = 0 für x ≥ 4.

(1) Es sind die Nullstellen der Funktion f ( x ) = 10 0,1 x − sin   x zu ermitteln.
(2) Aufstellen einer Wertetabelle z. B. für −   4 < x < 4   :

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(3) Grafische Darstellung von f und Ablesen der Nullstelle:

Bild

(4) Wertetabelle mit verfeinerten Intervallen, z. B. für −   4 < x < −   3   :

Bild

(5) Grafische Darstellung von f für das Intervall −   4 < x < −   3 und erneutes Ablesen der Nullstelle:

Bild

Die Lösung der Gleichung 10 0,1 x − sin x = 0 im angegebenen Intervall lautet demnach näherungsweise x ≈ 3,6.

Stehen elektronische Hilfsmittel wie grafikfähige Taschenrechner oder Computer mit Funktionsplotter oder Tabellenkalkulation zur Verfügung, kann die grafische Darstellung sehr schnell erfolgen. Das Ablesen der Nullstelle geschieht dann (mitunter in grober Näherung) vom Display bzw. Bildschirm. Bei vielen Systemen verhilft eine TRACE- oder ZOOM-Funktion zu einer Lösungsangabe mit sehr guter Näherung (interaktives Rechenbeispiel). (Verschiedene Grafikrechner verfügen auch über spezielle Funktionen, die die Nullstellen auf Anforderung direkt angeben.)

So kann die Funktion aus obigem Beispiel mit einem grafikfähigen Taschenrechner sehr schnell dargestellt werden. Durch Abfahren der Kurve mit dem Cursor bis zum Schnittpunkt mit der x-Achse erhält man sehr schnell den Näherungswert x ≈ 3,6.

Bild

Variante
Lässt sich die Ausgangsfunktion in zwei bequem darstellbare Funktionen zerlegen, die (ggf. nach Umformungen) gleich sind, so werden beide Funktionen grafisch dargestellt. Die Lösungen der Ausgangsgleichung ergeben sich hierbei als Abszissenwerte der Schnittpunkte beider Graphen.

So lässt sich die Gleichung 10 0,1 x − sin   x = 0 zu 10 0,1 x = sin   x umformen. Nun werden die zwei Funktionen f ( x ) = 10 0,1 x       u n d       g ( x ) = sin x grafisch dargestellt. Auch ohne Hilfsmittel ist das (wegen der bekannten Sinusfunktion) in diesem Beispiel einfacher, als bei der ersten Variante. Die x-Koordinate des Schnittpunkts beider Graphen kann nun näherungsweise abgelesen werden. Schneller geht es auch hier mithilfe eines grafikfähigen Taschenrechners:

Bild

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Gleichungen, grafisches Lösen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/gleichungen-grafisches-loesen (Abgerufen: 20. May 2025, 18:11 UTC)

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Äquivalenzumformungen

Gleichungen bzw. Ungleichungen mit demselben Grundbereich, die die gleiche Lösungsmenge haben, heißen zueinander äquivalent.

Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn

  • die Seiten einer Gleichung vertauscht werden,
  • auf beiden Seiten einer Gleichung derselbe Term addiert oder subtrahiert wird,
  • beide Seiten einer Gleichung mit demselben Term multipliziert werden,
  • beide Seiten einer Gleichung durch denselben Term dividiert werden.

Beim Multiplizieren bzw. Dividieren mit einem bzw. durch einen Term darf dieser für keine Zahl aus der Grundmenge den Wert null annehmen.

Bruchgleichungen, Lösen

Ein Term wird Bruchterm genannt, wenn sein Nenner eine Variable enthält.
Eine Gleichung bzw. Ungleichung wird Bruchgleichung bzw. Bruchungleichung genannt, wenn sie mindestens einen Bruchterm enthält.

Bruchgleichungen lassen sich folgendermaßen lösen:

  1. Es wird der Hauptnenner der Bruchgleichung z. B. durch
    Primfaktorzerlegung oder durch Faktorisierung bestimmt.
  2. Beide Seiten der Bruchgleichung werden mit dem Hauptnenner multipliziert.
  3. Auf beiden Seiten werden die Brüche gekürzt.
  4. Die neue Gleichung wird mit den bekannten Schritten für
    äquivalentes Umformen gelöst.
  5. Es muss geprüft werden, ob die Lösung der neuen Gleichung auch zur Definitionsmenge der Bruchgleichung gehört.

Gleichungen, Inhaltliches Lösen

Das Lösen von Gleichungen (Ungleichungen) gelingt oftmals durch einfache Überlegungen ohne Anwendung formaler Regeln. Man spricht dann vom inhaltlichen Lösen einer Gleichung (Ungleichung) im Unterschied zum kalkülmäßigen Lösen (Anwenden von Lösungsverfahren).
Zu den Verfahren des inhaltlichen Lösens einer Gleichung (Ungleichung) zählt man im Allgemeinen das Zerlegen von Termen und Zahlen, das Einsetzen bzw. das systematische Probieren, das Rückwärtsschließen und das Schließen unter Benutzung von Veranschaulichungen.

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