Lineare Gleichungssysteme, Grafisches Lösen

Ein lineares Gleichungssystem mit den beiden Variablen x und y besteht aus zwei linearen Gleichungen (I und II) mit jeweils den Variablen x und y.
I     a 1 x + b 1 y = c 1     a 1 ,b 1 ,c 1 ∈ ℚ II       a 2 x + b 2 y = c 2       a 2 ,b 2 ,c 2 ∈ ℚ
Zur Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems gehören die Zahlenpaare, die sowohl zur Lösungsmenge der Gleichung I als auch zur Lösungsmenge der Gleichung II gehören.

Ein lineares Gleichungssytem mit den beiden Variablen x und y besteht aus zwei linearen Gleichungen (I und II) mit jeweils den Variablen x und y.
I     a 1 x + b 1 y = c 1     a 1 ,b 1 ,c 1 ∈ ℚ II       a 2 x + b 2 y = c 2       a 2 ,b 2 ,c 2 ∈ ℚ
Zur Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems gehören die Zahlenpaare , die sowohl zur Lösungsmenge der Gleichung I als auch zur Lösungsmenge der Gleichung II gehören.

Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen wird in folgenden Schritten zeichnerisch gelöst:

  1. Beide lineare Gleichungen werden in die Form y = mx + n gebracht.
  2. Die zugehörigen Geraden werden in dasselbe Koordinatensystem gezeichnet.
  3. Die Lösung entspricht den Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden und wird aus der grafischen Darstellung abgelesen.

Lösungsmöglichkeiten:

  • Schneiden die beiden Geraden einander in einem Punkt, so hat das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung.
  • Verlaufen die beiden Geraden parallel zueinander, so hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung.
  • Gehört zu beiden Gleichungen ein und dieselbe Gerade, so hat das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Beispiel 1 (Bild 1):

I   2x + 2y = 6     x ,   y ∈ ℚ II     2x + y = 5 I   a             y = − x + 3 IIa           y = − 2x + 5

Die Lösungen der Gleichung I sind Punkte der Geraden I.
Die Lösungen der Gleichung II sind Punkte der Geraden II.
Die Lösung des Gleichungssystems sind Punkte, die sowohl zur Geraden I als auch zur Geraden II gehören. Das ist nur der Punkt (2; 1).
Das lineare Gleichungssystem hat die Lösungsmenge
L = {   ( 2;   1 )   } , d. h. x = 2 und y = 1.

Grafische Lösung des linearen Gleichungssystems

Grafische Lösung des linearen Gleichungssystems

Beispiel 2 (Bild 2):

I         x + y = 3     x ,   y ∈ ℚ I I     2 x + 2 y = 4 I   a                 y = − x + 3 I I a               y = − x + 2

Die beiden Geraden schneiden einander nicht.
Es gibt keinen Punkt, der gleichzeitig zu beiden Geraden gehört.
Das Gleichungssystem hat keine Lösung: L = { } .
Das lässt sich bereits an den beiden umgeformten Gleichungen erkennen. Beide haben den gleichen Anstieg m = –1, die Geraden verlaufen also parallel.

Grafische Lösung des linearen Gleichungssystems

Grafische Lösung des linearen Gleichungssystems

Beispiel 3 (Bild 3):

I         y − 2 x = 2     x ,   y ∈ ℚ II         2y − 4x = 4 I   a                   y = 2x + 2 IIa                 y = 2x + 2

Die beiden Geraden sind identisch.
Alle Punkte der Geraden sind Lösungen des linearen Gleichungssystems. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Zur Lösungsmenge gehören alle die Zahlenpaare, welche die Gleichung y = 2x + 2 erfüllen.

Grafische Lösung des linearen Gleichungssystems

Grafische Lösung des linearen Gleichungssystems

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