Cramersche Regel

Diese soll hier am Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen erläutert werden.

Gegeben sei das folgende Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen:

a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2

Zur Berechnung von x und y wird das Additionsverfahren verwendet.
Die folgende Tabelle demonstriert die Vorgehensweise sowohl für die Eliminierung von x als auch für die Eliminierung von y.

Eliminieren von xEliminieren von y
a 11 x + a 12 y = b 1 | a 22 a 21 x + a 22 y = b 2 | ( a 12 ) a 11 x + a 12 y = b 1 | ( a 21 ) a 21 x + a 22 y = b 2 | a 11
a 11 a 22 x + a 12 a 22 y = a 22 b 1 | a 12 a 21 x a 12 a 22 y = a 12 b 2 | + a 11 a 21 x a 21 a 12 y = a 21 b 1 | a 11 a 21 x + a 11 a 22 y = a 11 b 2 | +
( a 11 a 22 a 12 a 21 ) x = a 22 b 1 a 12 b 2 ( a 11 a 22 a 21 a 12 ) y = a 11 b 2 a 21 b 1
x = a 22 b 1 a 12 b 2 a 11 a 22 a 21 a 12 y = a 11 b 2 a 21 b 1 a 11 a 22 a 21 a 12

Da D = a 11 a 22 a 21 a 12 = | a 11 a 12 a 21 a 22 |
die Koeffizientendeterminante darstellt, werden die Determinanten D x u n d D y derart gebildet, dass die Absolutglieder b i anstelle der jeweiligen Koeffizienten der Variablen geschrieben werden. So entstehen:
D x = | b 1 a 12 b 2 a 22 | = b 1 a 22 b 2 a 12 D y = | a 11 b 1 a 21 b 2 | = a 11 b 2 a 21 b 1

Unter der Voraussetzung, dass D 0 ist, stellt sich die Lösung des Gleichungssystems folgendermaßen dar:
x = D x D u n d y = D y D

Beispiel: Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:
2 x 5 y = 1 3 x 2 y = 7

Dann ist:
D = | 2 5 3 2 | = 4 + 15 = 11 D x = | 1 5 7 2 | = 2 + 35 = 33 D y = | 2 1 3 7 | = 14 3 = 11

Damit erhalten wir als Lösungen:
x = 33 11 = 3 u n d y = 11 11 = 1

Für lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen x, y und z gilt dann analog:
x = D x D , y = D y D u n d z = D z D

Allgemein besagt die cramersche Regel:

  • Für ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten x i erhält man die Lösung als
    x i = D x i D ( m i t i = 1, 2, 3, ..., n ) .
    Dabei ist D die Koeffizientendeterminante und D x i wird aus D gebildet, indem die Koeffizienten a k i von x i durch die Absolutglieder b k ersetzt werden.

Ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen besitzt

  1. eine eindeutige Lösung, wenn D 0 und die D x i beliebig sind,
  2. eine unendliche Lösungsmenge, wenn D = 0 und alle D x i gleich null sind,
  3. eine leere Lösungsmenge, wenn D = 0 und wenigstens ein D x i von null verschieden ist.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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