Cramersche Regel

Lineare Gleichungssysteme können mithilfe von Determinanten gelöst werden. Eine entsprechende Regel dazu entwickelte der Schweizer Mathematiker GABRIEL CRAMER (1704 bis 1752).

Diese soll hier am Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen erläutert werden.

Gegeben sei das folgende Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen:

$\begin{matrix} a_{11} x + a_{12} y = b_{1} \\ a_{21} x + a_{22} y = b_{2} \end{matrix}$

Zur Berechnung von x und y wird das Additionsverfahren verwendet.
Die folgende Tabelle demonstriert die Vorgehensweise sowohl für die Eliminierung von x als auch für die Eliminierung von y.

Eliminieren von x	Eliminieren von y
$\begin{matrix} a_{11} x + a_{12} y = b_{1} & \| \cdot a_{22} \\ a_{21} x + a_{22} y = b_{2} & \| \cdot (- a_{12}) \end{matrix}$	$\begin{matrix} a_{11} x + a_{12} y = b_{1} & \| \cdot (- a_{21}) \\ a_{21} x + a_{22} y = b_{2} & \| \cdot a_{11} \end{matrix}$
$\begin{matrix} a_{11} a_{22} x + a_{12} a_{22} y = a_{22} b_{1} & \| \\ - a_{12} a_{21} x - a_{12} a_{22} y = - a_{12} b_{2} & \| + \end{matrix}$	$\begin{matrix} - a_{11} a_{21} x - a_{21} a_{12} y = - a_{21} b_{1} & \| \\ a_{11} a_{21} x + a_{11} a_{22} y = a_{11} b_{2} & \| + \end{matrix}$
$(a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}) x = a_{22} b_{1} - a_{12} b_{2}$	$(a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}) y = a_{11} b_{2} - a_{21} b_{1}$
$x = \frac{a_{22} b_{1} - a_{12} b_{2}}{a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}}$	$y = \frac{a_{11} b_{2} - a_{21} b_{1}}{a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}}$

Da $D = a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12} = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} |$
die Koeffizientendeterminante darstellt, werden die Determinanten $D_{x} u n d D_{y}$ derart gebildet, dass die Absolutglieder $b_{i}$ anstelle der jeweiligen Koeffizienten der Variablen geschrieben werden. So entstehen:
$\begin{matrix} D_{x} = | \begin{matrix} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{matrix} | = b_{1} a_{22} - b_{2} a_{12} \\ D_{y} = | \begin{matrix} a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2} \end{matrix} | = a_{11} b_{2} - a_{21} b_{1} \end{matrix}$

Unter der Voraussetzung, dass $D \neq 0$ ist, stellt sich die Lösung des Gleichungssystems folgendermaßen dar:
$x = \frac{D_{x}}{D} u n d y = \frac{D_{y}}{D}$

Beispiel: Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:
$\begin{array}{l} 2 x - 5 y = 1 \\ 3 x - 2 y = 7 \end{array}$

Dann ist:
$\begin{matrix} D = | \begin{matrix} 2 & - 5 \\ 3 & - 2 \end{matrix} | = - 4 + 15 = 11 \\ D_{x} = | \begin{matrix} 1 & - 5 \\ 7 & - 2 \end{matrix} | = - 2 + 35 = 33 D_{y} = | \begin{matrix} 2 & 1 \\ 3 & 7 \end{matrix} | = 14 - 3 = 11 \end{matrix}$

Damit erhalten wir als Lösungen:
$\begin{array}{l} x = \frac{33}{11} = 3 u n d y = \frac{11}{11} = 1 \end{array}$

Für lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen x, y und z gilt dann analog:
$x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D} u n d z = \frac{D_{z}}{D}$

Allgemein besagt die cramersche Regel:

Für ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten $x_{i}$ erhält man die Lösung als
$x_{i} = \frac{D_{x_{i}}}{D} (m i t i = 1, 2, 3, ..., n) .$
Dabei ist D die Koeffizientendeterminante und $D_{x_{i}}$ wird aus D gebildet, indem die Koeffizienten $a_{k i}$ von $x_{i}$ durch die Absolutglieder $b_{k}$ ersetzt werden.

Ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen besitzt

eine eindeutige Lösung, wenn $D \neq 0$ und die $D_{x_{i}}$ beliebig sind,
eine unendliche Lösungsmenge, wenn $D = 0$ und alle $D_{x_{i}}$ gleich null sind,
eine leere Lösungsmenge, wenn $D = 0$ und wenigstens ein $D_{x_{i}}$ von null verschieden ist.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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