- Lexikon
- Mathematik Abitur
- 4 Gleichungen und Gleichungssysteme
- 4.7 Lineare Gleichungssysteme
- 4.7.2 Lösbarkeit und Lösungsmenge von Gleichungssystemen
- Lösbarkeitskriterien für homogene lineare Gleichungssysteme
Gegeben sei ein lineares Gleichungssystems mit den n Variablen der folgenden Form:
Für die Lösung gibt es drei Möglichkeiten:
Indikatoren für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme sind der Rang der Matrix A (Koeffizientenmatrix) der Rang der um den Vektor der Absolutglieder erweiterten Matrix
Im Folgenden untersuchen wir die Lösbarkeit homogener linearer Gleichungssysteme.
Beispiel 1: Es ist das folgende homogene lineare Gleichungssystem zu lösen:
Die Koeffizientenmatrix hat folgende Gestalt:
Nach Umformung ergibt sich:
Der Rang von A ist also gleich der Anzahl n der Variablen, und es existiert nur die triviale Lösung
Beispiel 2: Es ist das folgende homogene lineare Gleichungssystem zu lösen:
Die Koeffizientenmatrix hat folgende Gestalt:
Umformen ergibt
d.h. der Rang von A ist kleiner als die Anzahl der Variablen.
Folglich gibt es unendlich viele Lösungen:
Stand: 2010
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