Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 4 Gleichungen und Gleichungssysteme
  4. 4.7 Lineare Gleichungssysteme
  5. 4.7.2 Lösbarkeit und Lösungsmenge von Gleichungssystemen
  6. Lösbarkeitskriterien für homogene lineare Gleichungssysteme

Lösbarkeitskriterien für homogene lineare Gleichungssysteme

Ein homogenes lineares Gleichungssystem ist stets lösbar. Es besitzt immer den Nullvektor als Lösung (trivialen Lösung). Dieser ist genau dann die einzige Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl der Variablen ist.
Ist der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Variablen, so besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystems mit den n Variablen x i       m i t       i = 1,   2,   ...,   n der folgenden Form:
  a 11 x 1     + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a 1 n x n = b 1   a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + ... + a 2 n x n = b 2   a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + ... + a 3 n x n = b 3     ...                           ...   a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + ... + a n n x n = b n

Für die Lösung gibt es drei Möglichkeiten:

  1. Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, d.h., es besitzt genau einen Lösungsvektor.
  2. Das Gleichungssystem ist mehrdeutig lösbar, d.h., der Lösungsvektor ist parameterbehaftet.
  3. Das Gleichungssystem ist unlösbar.

Indikatoren für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme sind der Rang der Matrix A (Koeffizientenmatrix) der Rang der um den Vektor der Absolutglieder erweiterten Matrix   A   |   b → ( erweiterte Koeffizientenmatrix) und die Anzahl der Variablen n.

Im Folgenden untersuchen wir die Lösbarkeit homogener linearer Gleichungssysteme.

  • Satz 1: Ein homogenes lineares Gleichungssystem ist stets lösbar. Es besitzt immer den Nullvektor als Lösung (trivialen Lösung).
    Der Nullvektor ist genau dann die einzige Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl der Variablen ist.

Beispiel 1: Es ist das folgende homogene lineare Gleichungssystem zu lösen:
      x 1 +       2 x 2                         = 0       x 1 +             x 2 + x 3 = 0 4 x 1 + 16 x 2 + x 3 = 0

Die Koeffizientenmatrix hat folgende Gestalt:
  A = ( 1 2 0 1 1 1 4 16 1 )
Nach Umformung ergibt sich:
  ( 1 2 0 0 1 − 1 0 0 9 ) ⇒ r g   A = 3 = n
Der Rang von A ist also gleich der Anzahl n der Variablen, und es existiert nur die triviale Lösung x → = ( 0 0 0 ) .

  • Satz 2: Das homogene lineare Gleichungssystem besitzt genau dann unendlich viele Lösungen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Variablen ist.

Beispiel 2: Es ist das folgende homogene lineare Gleichungssystem zu lösen:
      x 1 +           4 x 2                             = 0       x 1 +         4 x 2 + 2 x 3 = 0 4 x 1 + 16 x 2 + 2 x 3 = 0

Die Koeffizientenmatrix hat folgende Gestalt:
  A = ( 1 4 0 1 4 2 4 16 2 )
Umformen ergibt
  ( 1 4 0 0 0 2 0 0 0 ) ⇒ r g   A = 2 < n ,

d.h. der Rang von A ist kleiner als die Anzahl der Variablen.
Folglich gibt es unendlich viele Lösungen:
  x → = ( 0 0 0 ) + t ( −   4 1 0 )       ( t ∈ ℝ )

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Lösbarkeitskriterien für homogene lineare Gleichungssysteme." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/loesbarkeitskriterien-fuer-homogene-lineare (Abgerufen: 19. May 2025, 15:18 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • homogene Gleichungssysteme
  • Lösungsvektoren
  • Variablen
  • Lösungen
  • Absolutglieder
  • Rang
  • Parameter
  • Nullvektor
  • erweiterte Koeffizientenmatrix
  • inhomogene Gleichungssysteme
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Carl Friedrich Gauß

* 30. April 1777 Braunschweig
† 23. Februar 1855 Göttingen

Der oft als „Princeps mathematicorum“ (Fürst der Mathematik) bezeichnete CARL FRIEDRICH GAUSS erzielte bahnbrechende Leistungen in Mathematik, Physik, Astronomie und Geodäsie.
Auf mathematischem Gebiet beschäftigte er sich vor allem mit Probemen der Zahlentheorie und Algebra sowie mit Fragen der numerischen Mathematik. Durch neue Berechnungsmethoden schuf er die Grundlagen für eine exakte Bestimmung der Planetenbahnen.
Gemeinsam mit dem Physiker WILHELM WEBER trug GAUSS wesentlich zur Erforschung des Erdmagnetismus und zur Aufstellung eines absoluten Maßsystems bei. Weitere erwähnenswerte Leistungen sind die Bestimmung der Lage der Magnetpole der Erde sowie die Entwicklung des elektromagnetischen Telegrafen.

Funktionsanpassungen

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Funktionsanpassungen".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

Gaußsches Eliminierungsverfahren (Gauß-Algorithmus)

Das auf CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) zurückgehende Verfahren beruht auf dem Additions- bzw. Subtraktionsverfahren (Verfahren der gleichen Koeffizienten).
Die Lösungsstrategie besteht in der äquivalenten Umformung des gegebenen Gleichungssystems mit mehreren Variablen (Unbekannten) in eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

Lösbarkeitskriterien für inhomogene lineare Gleichungssysteme

Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem besitzt nur dann Lösungen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Ist dieser gleich der Anzahl der Variablen, so existiert genau eine Lösung; ist er kleiner als die Anzahl der Variablen, dann existieren unendlich viele Lösungen.
Ist der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix, dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.

Cramersche Regel

Lineare Gleichungssysteme können mithilfe von Determinanten gelöst werden. Eine entsprechende Regel dazu entwickelte der Schweizer Mathematiker GABRIEL CRAMER (1704 bis 1752).

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025