Lineare Ungleichungen, mit einer Variablen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen
$>\text{, }<\text{, }\le \text{, }\ge \text{ oder }\ne$
steht, bilden eine Ungleichung.

Ungleichungen der Form ax + b < 0 ($\text{a}\ne \text{0}$) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit einer Variablen.

Äquivalentes Umformen von Ungleichungen

• Das Addieren und das Subtrahieren derselben rationale Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
• Das Addieren und das Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Ungleichung
• Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer positiven rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
• Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer negativen rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung mit gleichzeitigem Umdrehen des Relationszeichens

Beispiel 1:
$\begin{array}{l}\text{6}\left(\text{4}\text{x}-\text{19}\right)+\text{95}>-\text{31}+\text{18}\text{x}-\text{2}|\text{Klammer auflösen}\\ \text{24}\text{x}-\text{114}+\text{95}>-\text{31}+\text{18}\text{x}-\text{2}|\text{zusammenfassen}\\ \text{24}\text{x}-\text{19}>-\text{33}+\text{18}\text{x}|\text{+}\text{19}\\ \text{24}\text{x}>-\text{14}+\text{18}\text{x}|–\text{18}\text{x}\\ \text{6}\text{x}>-\text{14}|\text{:}\text{6}\\ \text{x}>-\frac{\text{7}}{\text{3}}\\ \text{L}=\left\{\text{x}\in \mathbb{Q}|\text{x}>-\frac{\text{7}}{\text{3}}\right\}\end{array}$

Die Lösungsmenge lässt sich auf der Zahlengeraden veranschaulichen (Bild 1).

Beispiel 2:
$\begin{array}{l}-8x–2\le 2\left(4–2x\right)|\text{Klammer}\text{auflösen}\\ -\text{8}\text{x}-\text{2}\le \text{8}-\text{4}\text{x}|\text{+}\text{4}\text{x}\\ -\text{4}\text{x}-\text{2}\le \text{8}|\text{+}\text{2}\\ -\text{4}\text{x}\le \text{10}|\text{:}\left(–\text{4}\right)\\ \text{x}\ge -\frac{\text{5}}{\text{2}}\\ \text{L}=\left\{\text{x}\in \mathbb{Q}|\text{x}\ge -\frac{\text{5}}{\text{2}}\right\}\end{array}$

Die Lösungsmenge lässt sich auf der Zahlengeraden veranschaulichen (Bild 2).