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Lineare Ungleichungen, mit einer Variablen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen > ,    < ,    ≤ ,    ≥  oder  ≠ steht, bilden eine Ungleichung.
Ungleichungen der Form ax + b < 0 ( a ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit einer Variablen.

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Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen
> ,    < ,    ≤ ,    ≥  oder  ≠
steht, bilden eine Ungleichung.

Ungleichungen der Form ax + b < 0 ( a ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit einer Variablen.

Äquivalentes Umformen von Ungleichungen

  • Das Addieren und das Subtrahieren derselben rationale Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Addieren und das Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer positiven rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer negativen rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung mit gleichzeitigem Umdrehen des Relationszeichens

Beispiel 1:
6 ( 4   x − 19 ) + 95 > − 31 +     18   x − 2     |   Klammer auflösen   24   x − 114 + 95 > − 31 +     18   x − 2     |   zusammenfassen           24   x − 19 > − 33 +     18   x           |   +     19           24   x > − 14 +     18   x             |   –     18   x               6   x > − 14                     |   :     6               x > − 7 3   L = { x ∈ ℚ   |   x > − 7 3     }

Die Lösungsmenge lässt sich auf der Zahlengeraden veranschaulichen (Bild 1).

  • Darstellung der Lösungsmenge auf der Zahlengeraden

Beispiel 2:
− 8   x – 2 ≤ 2   ( 4 – 2   x )     |   Klammer   auflösen − 8   x − 2 ≤ 8 − 4   x         |   +     4   x −   4   x − 2 ≤ 8             |   +     2       −   4   x ≤ 10               |   : ( –   4 )           x ≥ − 5 2 L = { x ∈ ℚ   |   x ≥ − 5 2   }

Die Lösungsmenge lässt sich auf der Zahlengeraden veranschaulichen (Bild 2).

  • Darstellung der Lösungsmenge auf der Zahlengeraden
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Lineare Ungleichungen, mit einer Variablen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/lineare-ungleichungen-mit-einer-variablen (Abgerufen: 20. May 2025, 15:23 UTC)

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  • Das Addieren und das Subtrahieren derselben rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Addieren und das Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer positiven rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung
  • Das Multiplizieren und das Dividieren mit einer negativen rationalen Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung mit gleichzeitigem Umdrehen des Relationszeichens
    (Aus < wird >, aus ≤ wird ≥ und umgekehrt.)

Verhältnisgleichungen

Viele Probleme, bei denen mit drei gegebenen Größen eine vierte berechnet wird, führen auf Verhältnisgleichungen (Proportionen).
Eine Gleichung der Form
a b = c d     (   a ,b ,c ,d ≠ 0   )
heißt Verhältnisgleichung oder Proportion.
Dabei wird der Quotient zweier Größen als Verhältnis bezeichnet. Verhältnisgleichungen haben eine große Bedeutung bei der Prozentrechnung, bei den Strahlensätzen und bei linearen Funktionen der Form y = mx.

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Äquivalenzumformungen

Gleichungen bzw. Ungleichungen mit demselben Grundbereich, die die gleiche Lösungsmenge haben, heißen zueinander äquivalent.

Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn

  • die Seiten einer Gleichung vertauscht werden,
  • auf beiden Seiten einer Gleichung derselbe Term addiert oder subtrahiert wird,
  • beide Seiten einer Gleichung mit demselben Term multipliziert werden,
  • beide Seiten einer Gleichung durch denselben Term dividiert werden.

Beim Multiplizieren bzw. Dividieren mit einem bzw. durch einen Term darf dieser für keine Zahl aus der Grundmenge den Wert null annehmen.

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