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Lineare Ungleichungen, mit zwei Variablen

Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen < ,     > ,     ≤ ,     ≥  oder  ≠ steht, bilden eine Ungleichung.
Ungleichungen der Form a x + b y + c < 0       ( a ,   b ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit zwei Variablen.

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Zwei Terme, zwischen denen eines der Zeichen < ,     > ,     ≤ ,     ≥  oder  ≠ steht, bilden eine Ungleichung.

Ungleichungen der Form a x + b y + c < 0       ( a ,   b ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit zwei Variablen.

Die Lösungsmenge einer solchen Ungleichung mit zwei Variablen ist ein Menge geordneter Zahlenpaare.
Diese Menge lässt sich grafisch ermitteln, indem man das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen ersetzt, die entstandene Gleichung als Funktionsgleichung einer linearen Funktion auffasst und ihren Graphen zeichnet.

Beispiel 1 (Bild 1):

Ungleichung:             x + y ≤ 3     Übergang zur Gleichung:     x + y = 3 Funktionsgleichung:               y = − x + 3  

Es wird der Funktionsgraph und die Lösungsmenge gezeichnet.
Zur Lösungsmenge der Ungleichung gehören die Punkte der Geraden sowie die Punkte unterhalb der Geraden.

  • Darstellung der Lösungsmenge im Koordinatensystem

Beispiel 2 (Bild 2):

Ungleichung:             2   x + y > 3     Übergang zur Gleichung:     2   x + y = 3 Funktionsgleichung:                   y = − 2   x + 3    

Es wird der Funktionsgraph und die Lösungsmenge gezeichnet.
Zur Lösungsmenge der Ungleichung gehören nicht die Punkte der Geraden, sondern nur die Punkte oberhalb der Geraden.

  • Darstellung der Lösungsmenge im Koordinatensystem

Zwei Ungleichungen mit denselben zwei Variablen bilden ein Ungleichungssystem.

Beispiel 3 (Bild 3):

U n g l e i c h u n g e n :         ( I )     x + y ≤ 3       ( I I )     − x + y ≤ 1                                 y ≤ − x + 3                 y ≤ x + 1 F u n k t i o n s g l e i c h u n g e n :     ( I )     y = −   x + 3         ( I I )     y = x + 1
Die Lösungsmenge eines Ungleichungssystems kann grafisch als Durchschnitt der Lösungsmengen der einzelnen Ungleichungen ermittelt werden.

  • Darstellung der Lösungsmenge im Koordinatensystem
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Lineare Ungleichungen, mit zwei Variablen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/lineare-ungleichungen-mit-zwei-variablen (Abgerufen: 20. May 2025, 10:09 UTC)

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Gaußsches Eliminierungsverfahren (Gauß-Algorithmus)

Das auf CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) zurückgehende Verfahren beruht auf dem Additions- bzw. Subtraktionsverfahren (Verfahren der gleichen Koeffizienten).
Die Lösungsstrategie besteht in der äquivalenten Umformung des gegebenen Gleichungssystems mit mehreren Variablen (Unbekannten) in eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.

Lösbarkeitskriterien für homogene lineare Gleichungssysteme

Ein homogenes lineares Gleichungssystem ist stets lösbar. Es besitzt immer den Nullvektor als Lösung (trivialen Lösung). Dieser ist genau dann die einzige Lösung, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich der Anzahl der Variablen ist.
Ist der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als die Anzahl der Variablen, so besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

Lösbarkeitskriterien für inhomogene lineare Gleichungssysteme

Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem besitzt nur dann Lösungen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Ist dieser gleich der Anzahl der Variablen, so existiert genau eine Lösung; ist er kleiner als die Anzahl der Variablen, dann existieren unendlich viele Lösungen.
Ist der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix, dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.

Cramersche Regel

Lineare Gleichungssysteme können mithilfe von Determinanten gelöst werden. Eine entsprechende Regel dazu entwickelte der Schweizer Mathematiker GABRIEL CRAMER (1704 bis 1752).

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